$$0<t<1\Rightarrow (\forall n>1)(0<t^n<t)$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Tümevarımla veya  başka bir yöntemle önermenin doğru olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$0<t<1$ olsun ve $n\geq 2$ olmak üzere $\varphi (n): ``0<t^n<t"$ diyelim.

$$\begin{array}{rcl} 0<t<1 & \Rightarrow & 0<t\wedge t<1 \\ \\ & \Rightarrow & 0\cdot t<t\cdot t \wedge t\cdot t<1\cdot t \\ \\ & \Rightarrow & 0<t^2 \wedge t^2<t \\ \\ & \Rightarrow & 0<t^2<t  \end{array}$$ olduğundan $n=2$ için iddia doğru.

 

Şimdi belirli bir $n\in\mathbb{N}$ için $\varphi(n)$'nin doğru olduğunu varsayıp $\varphi(n+1)$'in doğru olduğunu gösterelim.

$$\begin{array}{rcl} 0<t^n<1 & \Rightarrow & 0<t^n\wedge t^n<1 \\ \\ & \Rightarrow & 0\cdot t<t^n\cdot t \wedge t^n\cdot t<t\cdot t \\ \\ & \Rightarrow & 0<t^{n+1} \wedge t^{n+1}<t^2 \\ \\ & \Rightarrow & 0<t^{n+1}<t^2<t  \end{array}$$ olur. O halde $$\forall n\geq 2,\varphi (n)$$ doğru yani $$0<t<1\Rightarrow (\forall n>1)(0<t^n<t)$$ önermesi doğrudur.