Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
728 kez görüntülendi

Yani her x pozitif gerçel sayısı ve her n pozitif tamsayısı için yn=x olacak şekilde bir ve yalnız bir tane y pozitif gerçel sayısının var olduğunu kanıtlayınız.

Not: Böyle bir y sayısı nx veya  x1n şeklinde yazılır ve bu y sayısına x pozitif gerçel sayısının n. dereceden kökü denir.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 728 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

xR>0  ve  nZ>0 olsun ve E:={t|0<t, tn<x} olarak tanımlayalım.

0<xt1:=xx+1}(0<t1)(tn1<t1<x)t1EE(1)

1+x<t2x<1+x<t2<tn2t2E1+xEüEü(2)

(Eü:E kümesinin tüm üstsınırlarının kümesi.)

(1),(2)SUP(yR)(sup

 

y^n=x olduğunu gösterirsek kanıt biter. Bunun için de ilk olarak x\leq y^n ve ikinci olarak da y^n\leq x olduğunu göstermeliyiz. Birinci durumun kanıtına geçmeden önce küçük bir çalışma yapalım.

 

0<a<b

\Rightarrow

b^n-a^n=(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+b^{n-3}a^2+\ldots +ba^{n-2}+a^{n-1})

\Rightarrow

 b^n-a^n<(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}b+b^{n-3}b^2+\ldots +bb^{n-2}+b^{n-1})=(b-a)nb^{n-1}\ldots (3)

 

\textbf{I. Durum:} x\leq y^n olduğunu gösterelim. y^n<x olduğunu varsayalım.

\left.\begin{array}{rr} y^n<x\Rightarrow 0<\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}} \\ \\ \text{Arşimet Özelliği}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists m\in\mathbb{N})\left(\frac1{m+1}<\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}\right)\ldots (4)

 

(3) nolu eşitsizlikte a=y,  \ b=y+\frac{1}{m+1} yazılır ve (4) nolu eşitsizlikte kullanılırsa

 

\left(y+\frac{1}{m+1}\right)^n-y^n\overset{(3)}{<}\frac{1}{m+1}\cdot n\cdot \left(y+\frac{1}{m+1}\right)^{n-1}<\frac{1}{m+1}\cdot n\cdot \left(y+1\right)^{n-1}\overset{(4)}{<}x-y^n \Rightarrow \left(y+\frac{1}{m+1}\right)^n<x \Rightarrow y+\frac{1}{m+1}\in E elde edilir ki bu durum \sup E=y olması ile çelişir. O halde x\leq y^n\ldots (5) olmalıdır.

 

\textbf{II. Durum:} y^n\leq x olduğunu gösterelim. x<y^n olduğunu varsayalım.

x<y^n\Rightarrow 0<k:=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}<\frac{y^n}{ny^{n-1}}=\frac{y}{n}\leq y\Rightarrow 0<y-k elde edilir. Öte yandan (3) nolu eşitsizlikte a=y,  \ b=y-k yazılırsa

0<y-k\leq t\Rightarrow(y-k)^n\leq t^n\Rightarrowy^n-t^n\leq y^n-(y-k)^n\overset{(3)}{<}kn(y-k)^{n-1}<kny^{n-1}=y^n-x\Rightarrow x<t^n\Rightarrow t\notin E yani y-k\in E^{ü} elde edilir ki bu durum \sup E=y olması ile çelişir. O halde y^n\leq x\ldots (6) olmalıdır.

Buradan da (5),(6)\Rightarrow y^n=x elde edilir.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
II. durumu müsait bir zamanda tekrar ele alıp düzenleyeceğim.

Tekliğini okurlara bırakalım.

0<t<1\Rightarrow (\forall n>1)(0<t^n<t) olduğunu gösteriniz.
20,297 soru
21,841 cevap
73,542 yorum
2,733,968 kullanıcı