Büzülme Fonksiyonu-I

Question

$$f(x)=x+\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:[1,\infty)\to [1,\infty)$$ fonksiyonunun $[1,\infty)$'da büzülme fonksiyonu olmadığını gösteriniz.

Comments

Hızlı çözüm:

Sabit noktası yok.

---

Ben bu hızlı çözümü daha çok sevdim.

Bu arada küçük bir soru: Büzülme fonksiyonlarının makbule geçmesinin sebebi bu sabit nokta teoremleri mi?

Biraz daha açayım: Evet, büzülme fonksiyonunun tanımını yapıyoruz ve tanımın bir sonucu olarak bir sabit nokta teoremi kanıtlıyoruz. Ama "gerçek hayatta" işler diğer türlü yürüyor sanki. Önce teorem ya da sebep geliyor, ondan sonra tanımı yapıyoruz. Büzülme fonksiyonunu böyle tanımlamamızın sebebi bu sabit nokta teoremi mi?

@murad.ozkoc YouTube kanalının linklerini paylaşmayı düşünüyor musun?

---

Merhaba Özgür. 1. sorunun yanıtı: Evet 2. sorunun yanıtı: Hatırladığım kadarıyla adi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin varlığını kanıtlamak için kullanılıyordu. Bu çözümlerin varlığını kanıtlamak için yapılan çalışmalarda ortaya atılmış bir kavram diye hatırlıyorum. En detaylı ve sağlıklı bilgiyi analizci veya bu alanda çalışmaları olan bir meslektaşımız verir diye düşünüyorum. 3. sorunun yanıtı: Linkleri bir yerde paylaşmak aklıma gelmedi açıkçası. Ama kanalı zaten herkese açık olacak şekilde düzenledim. İzlemek isteyen herkese açık. Beamer’da istediğim grafikleri çizemediğim için bazı slaytlardaki açıklamalar izleyenler için havada kalabilir. İlerleyen günlerde daha da iyileştirebilmek için çalışmalarım olacak.

Answer 1

Büzülme fonksiyonu olduğunu varsayalım.

Bir $0<k<1$ gerçel sayısı ve her $x,y\geq1$ için $|(x+\frac1x)-(y+\frac1y)|\leq k|x-y|$ olur.

(Arşimet Özelliğinden) $1-k>\frac1{N}$ (eşdeğer olarak $k<1-\frac1N$) olacak şekilde bir $N$ doğal sayısı vardır.

$x=2N,\ y=N$ olsun. O zaman, $x,y\in[1,+\infty)$ olur ve :

$|(2N+\frac1{2N})-(N+\frac1N)|\leq kN$ olmalıdır. Bu da:

$N-\frac1{2N}\leq kN$ olması demektir, ama bu eşitsizlik, eşdeğer olarak,

$k\geq 1-\frac1{2N^2}$ olması demektir.

Oysa ki $N$ sayısının seçiminden, $k<1-\frac1N<1-\frac1{2N^2}$ dir. Çelişki.

Öyleyse, $f$ fonksiyonu, bir büzülme fonksiyonu olamaz.