Büzülme Fonksiyonu-II

Question

$$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to (0,1)$$ fonksiyonunun $(0,1)$'de büzülme fonksiyonu olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$f$ fonksiyonunun $(0,1)$'de bir büzülme fonksiyonu olmadığını göstermek için 

$$(\forall K\in (0,1))(\exists x\in(0,1))(\exists a\in(0,1))(|f(x)-f(a)|>K|x-a|)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. 

Bu bağlamda her $K\in (0,1)$ için $x=K\in (0,1)$ ve $a=\frac{K}{2}\in (0,1)$ seçilirse

$$|f(x)-f(a)|=|x^2-a^2|=\left |K^2-\left(\frac{K}{2}\right)^2\right |=\frac{3K^2}{4}>\frac{K^2}{2}=K\left |K-\frac{K}{2}\right |=K|x-a|$$ koşulu sağlanır yani $$(\forall K\in (0,1))(\exists x\in(0,1))(\exists a\in(0,1))(|f(x)-f(a)|>K|x-a|)$$ önermesi doğru olur.  Bu önermenin doğru olması ise $f$ fonksiyonunun $(0,1)$'de büzülme fonksiyonu olmadığı anlamına gelir.