Question

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayı bir $T_3$ uzayı mıdır?

Comments

Siz bu soruda ne düşündünüz/ denediniz?

---

Nasıl başlayacağımı tam olarak bilemedim

---

Yönlendirebilirseniz çok sevinirim hocam

---

$T_3$ uzayının tanımını biliyor musun? Biliyorsan yazar mısın?

---

Regüler T-1 uzayına bir T-3 uzayı denir (T3+T1’e regüler diyen kaynaklar da var) X’ten alınan keyfi bir x noktası ve x noktasını içermeyen bir F kapalısının ayrık komşulukları var ise uzaya Regüler uzay denir. regüler uzayın tek nokta kümeleri kapalıysa Uzay T3 uzayıdır

---

Güzel. Şimdi öncelikle $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayının regüler olduğunu göstermek için keyfi bir $F$ kapalı kümesi ve bu kümeye ait olmayan bir $x$ noktası alalım. Şimdi $x$ noktasının ve $F$ kümesinin açık komşuluklarını nasıl seçmeliyiz ki bu açık komşuluklar ayrık olsun. Buna cevabın ne olur?

---

x ile F kapalısı arasındaki uzaklığın yarısı kadar yarıçaplı komşulukları düşünsek olur mu acaba?

---

Aynen. Bu kadar işte. Ama $F$ kümesinin açık komşuluğu için biraz daha düzenleme yapman gerekecek.

---

Mesela $F=[2,\infty)$ kapalı kümesi ile bu kapalı kümeye ait olmayan $0$ noktasını ele alalım. $0$ noktası ile bu kapalı küme arasındaki uzaklık $\epsilon=2$. Biz $U:=(-1,1)$ ve $V:=(1,3)$ alırsak arakesitleri boş olur ama $V$ kümesi $F$ kümesinin bir açık komşuluğu olmaz. O zaman $V$ kümesini nasıl seçmemiz gerektiğini düşün ve sonra bu durumu herhangi bir kapalı küme ve bu kapalı kümeye ait olmayan herhangi bir $x$ noktası için genel bir yanıt yazmaya çalış.

---

İpucu bu linkte mevcut. Ama önce kendin bulmaya çalış.

---

Değerli yorumunuz için teşekkür ederim hocam, çok açıklayıcı ve net oldu, durumu genelleyip ortaya çıkaracağım umarım, teşekkürler

---

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerindeki  $\mathcal{U}$  alışılmış topolojisi bir metrik topolojidir. Dolayısıyla her metrik uzayın bir $T_4$ uzayı olduğunu göstermek de senin soruna yanıt olacaktır.