Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.8k kez görüntülendi
$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayı bir $T_3$ uzayı mıdır?
Akademik Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.8k kez görüntülendi

Siz bu soruda ne düşündünüz/ denediniz?

Nasıl başlayacağımı tam olarak bilemedim
Yönlendirebilirseniz çok sevinirim hocam
$T_3$ uzayının tanımını biliyor musun? Biliyorsan yazar mısın?
Regüler T-1 uzayına bir T-3 uzayı denir (T3+T1’e regüler diyen kaynaklar da var) X’ten alınan keyfi bir x noktası ve x noktasını içermeyen bir F kapalısının ayrık komşulukları var ise uzaya Regüler uzay denir. regüler uzayın tek nokta kümeleri kapalıysa Uzay T3 uzayıdır

Güzel. Şimdi öncelikle $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayının regüler olduğunu göstermek için keyfi bir $F$ kapalı kümesi ve bu kümeye ait olmayan bir $x$ noktası alalım. Şimdi $x$ noktasının ve $F$ kümesinin açık komşuluklarını nasıl seçmeliyiz ki bu açık komşuluklar ayrık olsun. Buna cevabın ne olur?

x ile F kapalısı arasındaki uzaklığın yarısı kadar yarıçaplı komşulukları düşünsek olur mu acaba?

Aynen. Bu kadar işte. Ama $F$ kümesinin açık komşuluğu için biraz daha düzenleme yapman gerekecek.

Mesela $F=[2,\infty)$ kapalı kümesi ile bu kapalı kümeye ait olmayan $0$ noktasını ele alalım. $0$ noktası ile bu kapalı küme arasındaki uzaklık $\epsilon=2$. Biz $U:=(-1,1)$ ve $V:=(1,3)$ alırsak arakesitleri boş olur ama $V$ kümesi $F$ kümesinin bir açık komşuluğu olmaz. O zaman $V$ kümesini nasıl seçmemiz gerektiğini düşün ve sonra bu durumu herhangi bir kapalı küme ve bu kapalı kümeye ait olmayan herhangi bir $x$ noktası için genel bir yanıt yazmaya çalış.

İpucu bu linkte mevcut. Ama önce kendin bulmaya çalış.

Değerli yorumunuz için teşekkür ederim hocam, çok açıklayıcı ve net oldu, durumu genelleyip ortaya çıkaracağım umarım, teşekkürler
$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerindeki  $\mathcal{U}$  alışılmış topolojisi bir metrik topolojidir. Dolayısıyla her metrik uzayın bir $T_4$ uzayı olduğunu göstermek de senin soruna yanıt olacaktır.
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,054,059 kullanıcı