$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$(X,\tau), \ T_1\text{ uzayı}\Leftrightarrow (\forall x\in X)(\{x\}\in\mathcal{C}(X,\tau))$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani bir $(X,\tau)$ topolojik uzayının $T_1$ uzayı olması için gerek ve yeter koşul uzayın tek elemanlı her altkümesinin kapalı olmasıdır.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $(X,\tau), \ T_1$ uzayı ve $x\in X$ olsun. Amacımız $$\{x\}\in\mathcal{C}(X,\tau)$$ olduğunu yani $$X\setminus\{x\}\in\tau$$ olduğunu yani $$(X\setminus\{x\})^{\circ}=X\setminus \{x\}$$ olduğunu yani $$X\setminus \{x\}$$ kümesinin her noktasının bir iç nokta olduğunu göstermek.

$y\in X\setminus\{x\}$ olsun.

 

$\left.\begin{array}{rr} y\in X\setminus\{x\}\Rightarrow x\neq y \\ \\ (X,\tau), \ T_1 \text{ uzayı}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(y))(y\notin U)(x\notin V)$

 

$\Rightarrow (\exists V\in\mathcal{U}(y))(x\notin V)\Rightarrow (\exists V\in\mathcal{U}(y))(V\subseteq X\setminus \{x\})\Rightarrow y\in (X\setminus \{x\})^{\circ}$

Buradan da $$X\setminus \{x\} \subseteq (X\setminus \{x\})^{\circ}\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan

$$(X\setminus \{x\})^{\circ} \subseteq X\setminus \{x\} \ldots (2)$$ kapsaması her zaman geçerlidir. O halde

$$(1),(2)\Rightarrow (X\setminus \{x\})^{\circ}=X\setminus \{x\}\Rightarrow X\setminus \{x\}\in \tau\Rightarrow \{x\}\in\mathcal{C}(X,\tau).$$

 

$(\Leftarrow):$ Her $x\in X$ için $\{x\}\in\mathcal{C}(X,\tau)$ ve $x\neq y$ olsun.

 

$\left.\begin{array}{rr} x\neq y\Rightarrow x\in X\setminus \{y\} \\ \\ U:=X\setminus \{y\} \end{array}\right\}\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow} (U\in\mathcal{U}(x))(y\notin U)$

 

$\left.\begin{array}{rr} x\neq y\Rightarrow y\in X\setminus \{x\} \\ \\ V:=X\setminus \{x\} \end{array}\right\}\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow} (V\in\mathcal{U}(y))(x\notin V).$