$$(X,\tau), \ T_1 \text{ uzayı}\Rightarrow (\forall A\subseteq X)(D(A)\in C(X,\tau))$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani $(X,\tau)$ topolojik uzayı $T_1$ uzayı ise uzayın her altkümesinin türev kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$A\in C(X,\tau)=\{A|(A\subseteq X)(A, \tau\text{-kapalı})\}\Leftrightarrow D(A)\subseteq A$

karakterizasyonundan faydalanarak kanıtı şöyle yapabiliriz:

$D(A)$ türev kümesinin kapalı olduğunu göstermek -üstteki teorem gereğince- $``D(D(A))\subseteq D(A)"$ olduğu göstermek yeterlidir.

$x\in D(D(A))$ olsun.

$x\in D(D(A))\Rightarrow (\forall U\in \mathcal{U}(x))((U\setminus \{x\})\cap D(A)\neq \emptyset)$

$\Rightarrow (\forall U\in \mathcal{U}(x))(\exists y\in X)(y\in (U\setminus \{x\})\cap D(A))$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall U\in \mathcal{U}(x))(\exists y\in X)(y\in (U\setminus \{x\})(y\in D(A)) \\ \\ (X,\tau), \ T_1 \text{ uzayı}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\forall U\in \mathcal{U}(x))(U\setminus \{x\}\in \mathcal{U}(y))(y\in D(A))$

$\Rightarrow (\forall U\in \mathcal{U}(x))((U\setminus \{x,y\})\cap A\neq \emptyset)$

$\Rightarrow (\forall U\in \mathcal{U}(x))((U\setminus \{x\})\cap A\neq\emptyset)$

$\Rightarrow x\in D(A).$