$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$``(X,\tau), \ T_3 \text{ uzayı}\Rightarrow (X,\tau), \ T_4\text{ uzayı}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

Yani her $T_3$ uzayı bir $T_4$ uzayı mıdır?

Answer 1

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi, $\mathcal{B}=\{(a,b]\big{|}(a,b\in\mathbb{R})(a<b)\}$ ve $\tau =\langle \mathcal{B}\rangle$ olmak üzere $$(\mathbb{R},\tau)$$ topolojik uzayı (Sorgenfrey Line) bir $T_3$ uzayı (Neden?) ve $T_3$ uzaylarının çarpımı da $T_3$ uzayı olduğundan (Neden?) $$(\mathbb{R}^2,\tau\star\tau)$$ topolojik uzayı da (Sorgenfrey Plane) bir $T_3$ uzayıdır. Ancak $$(\mathbb{R}^2,\tau\star\tau)$$ topolojik uzayı bir $T_4$ uzayı değildir. (Neden?)