\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} ve A:=\{ a\in\mathbb{N} : (\forall b\in X)(a\leq b) \} olsun.
\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in \mathbb{N})(b\in X) \Rightarrow 0\leq b\Rightarrow 0\in A \ ...(1)
\left.\begin{array}{rr} \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in\mathbb{N})(b\in X) \\ \\ b < b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow b+1 \notin A \Rightarrow A\neq\mathbb{N}
\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(n\in A \Rightarrow n+1\notin A) \overset{ ?} \Rightarrow \min X =n.
Şimdi (?) olan geçişi biraz inceleyelim:
\min X=n olduğunu söylediğimize göre [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b) ]
önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
n\notin X olsaydı. [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv 1 olurdu ve n+1 \notin A olmasıyla çelişirdik. Şimdi bu önermenin nasıl doğru olduğunu görelim. [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X]
olduğundan [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X]
önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
n+1 \notin A \Rightarrow (\exists b\in X)(b < n+1) \Rightarrow b= n \ \vee \ b < n
olur.
\textbf{ I.Durum:} \ b = n olsun.
b=n \Rightarrow n\in X.
\textbf { II.Durum: } \ b< n olsun.
b < n \Rightarrow n\notin A olur yani n+1\notin A \Rightarrow n\notin A \ ... (2)
(1) , (2) \Rightarrow A = \mathbb {N} olur ve A \neq \mathbb {N} olması ile çelişiriz.
Dolayısıyla bu iki durumda incelendiğinde: [ n+1\notin A \Rightarrow n\in X ]
önermesinin doğru olduğunu görürüz. Yani [ n\notin X \Rightarrow n+1 \in A ] önermesi doğru olur. Fakat n+1 \notin A olduğundan çelişki. Dolayısıyla n\in X olur.
Şimdi (\forall b\in X)(n\leq b) önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Varsayalım ki (\exists b\in X)(b < n ) önermesi doğru olsun.
(\exists b\in X)(b<n) \Rightarrow n\notin A olur. Buradan [ n\in A \Rightarrow n+1 \in A] \ ...(3) önermesinin doğru olduğunu görürüz.
(1),(3) \Rightarrow A=\mathbb{N} olur. Fakat A\neq \mathbb{N} olduğundan çelişki. O halde (\forall b\in X)(n\leq b) önermesi doğru olur. Dolayısıyla [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b)] önermesi doğru olur. Yani \min X= n.