$\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N}$ ve $ A:=\{ a\in\mathbb{N} : (\forall b\in X)(a\leq b) \} $ olsun.
$ \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in \mathbb{N})(b\in X) \Rightarrow 0\leq b\Rightarrow 0\in A \ ...(1)$
$\left.\begin{array}{rr} \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in\mathbb{N})(b\in X) \\ \\ b < b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow b+1 \notin A \Rightarrow A\neq\mathbb{N} $
$\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(n\in A \Rightarrow n+1\notin A) \overset{ ?} \Rightarrow \min X =n.$
Şimdi $(?)$ olan geçişi biraz inceleyelim:
$\min X=n $ olduğunu söylediğimize göre $$ [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b) ]$$
önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$n\notin X $ olsaydı. $$ [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv 1 $$ olurdu ve $n+1 \notin A$ olmasıyla çelişirdik. Şimdi bu önermenin nasıl doğru olduğunu görelim. $$ [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X] $$
olduğundan $$ [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X] $$
önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
$n+1 \notin A \Rightarrow (\exists b\in X)(b < n+1) \Rightarrow b= n \ \vee \ b < n $
olur.
$\textbf{ I.Durum:} \ b = n $ olsun.
$ b=n \Rightarrow n\in X$.
$\textbf { II.Durum: } \ b< n $ olsun.
$b < n \Rightarrow n\notin A$ olur yani $ n+1\notin A \Rightarrow n\notin A \ ... (2) $
$ (1) , (2) \Rightarrow A = \mathbb {N} $ olur ve $ A \neq \mathbb {N} $ olması ile çelişiriz.
Dolayısıyla bu iki durumda incelendiğinde: $$ [ n+1\notin A \Rightarrow n\in X ] $$
önermesinin doğru olduğunu görürüz. Yani $$ [ n\notin X \Rightarrow n+1 \in A ] $$ önermesi doğru olur. Fakat $n+1 \notin A$ olduğundan çelişki. Dolayısıyla $ n\in X$ olur.
Şimdi $$ (\forall b\in X)(n\leq b)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Varsayalım ki $$ (\exists b\in X)(b < n ) $$ önermesi doğru olsun.
$(\exists b\in X)(b<n) \Rightarrow n\notin A $ olur. Buradan $$ [ n\in A \Rightarrow n+1 \in A] \ ...(3) $$ önermesinin doğru olduğunu görürüz.
$(1),(3) \Rightarrow A=\mathbb{N} $ olur. Fakat $A\neq \mathbb{N} $ olduğundan çelişki. O halde $$ (\forall b\in X)(n\leq b) $$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla $$ [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b)] $$ önermesi doğru olur. Yani $\min X= n.$