Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
494 kez görüntülendi
Yani doğal sayılar kümesinin boştan farklı her altkümesinin bir en küçük elemanının var olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından  | 494 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} ve A:=\{ a\in\mathbb{N} : (\forall b\in X)(a\leq b) \} olsun.

\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in \mathbb{N})(b\in X) \Rightarrow 0\leq b\Rightarrow  0\in A \ ...(1) 

\left.\begin{array}{rr}  \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in\mathbb{N})(b\in X) \\ \\ b < b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow b+1 \notin A \Rightarrow A\neq\mathbb{N}  

\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(n\in A \Rightarrow n+1\notin A) \overset{ ?} \Rightarrow \min X =n.

Şimdi (?) olan geçişi biraz inceleyelim:

\min X=n olduğunu söylediğimize göre [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b) ]

önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

n\notin X olsaydı.  [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv 1 olurdu ve n+1 \notin A olmasıyla çelişirdik. Şimdi bu önermenin nasıl doğru olduğunu görelim.  [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X]

olduğundan [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X]

önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

n+1 \notin A \Rightarrow (\exists b\in X)(b < n+1) \Rightarrow b= n \ \vee \  b < n 

olur. 

\textbf{ I.Durum:} \ b = n olsun.

b=n \Rightarrow n\in X.

\textbf { II.Durum: } \ b< n  olsun.

b < n \Rightarrow n\notin A olur yani n+1\notin A \Rightarrow n\notin A \ ... (2)

(1) , (2) \Rightarrow A = \mathbb {N} olur ve A \neq \mathbb {N} olması ile çelişiriz.

Dolayısıyla bu iki durumda incelendiğinde: [ n+1\notin A \Rightarrow n\in X ]

önermesinin doğru olduğunu görürüz. Yani [ n\notin X \Rightarrow n+1 \in A ] önermesi doğru olur. Fakat n+1 \notin A olduğundan çelişki. Dolayısıyla n\in X olur.

Şimdi (\forall b\in X)(n\leq b) önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Varsayalım ki (\exists b\in X)(b < n ) önermesi doğru olsun.

(\exists b\in X)(b<n) \Rightarrow n\notin A olur. Buradan [ n\in A \Rightarrow n+1 \in A]  \ ...(3) önermesinin doğru olduğunu görürüz. 

(1),(3) \Rightarrow A=\mathbb{N} olur. Fakat A\neq \mathbb{N} olduğundan çelişki. O halde (\forall b\in X)(n\leq b) önermesi doğru olur. Dolayısıyla [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b)] önermesi doğru olur. Yani \min X= n.

(405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,096,500 kullanıcı