Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
304 kez görüntülendi
Yani doğal sayılar kümesinin boştan farklı her altkümesinin bir en küçük elemanının var olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 304 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N}$ ve $ A:=\{ a\in\mathbb{N} : (\forall b\in X)(a\leq b) \} $ olsun.

$ \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in \mathbb{N})(b\in X) \Rightarrow 0\leq b\Rightarrow  0\in A \ ...(1)$ 

$\left.\begin{array}{rr}  \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in\mathbb{N})(b\in X) \\ \\ b < b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow b+1 \notin A \Rightarrow A\neq\mathbb{N} $ 

$\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(n\in A \Rightarrow n+1\notin A) \overset{ ?} \Rightarrow \min X =n.$

Şimdi $(?)$ olan geçişi biraz inceleyelim:

$\min X=n $ olduğunu söylediğimize göre $$ [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b) ]$$

önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$n\notin X $ olsaydı. $$ [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv 1 $$ olurdu ve $n+1 \notin A$ olmasıyla çelişirdik. Şimdi bu önermenin nasıl doğru olduğunu görelim. $$ [ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X] $$

olduğundan $$ [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X] $$

önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

$n+1 \notin A \Rightarrow (\exists b\in X)(b < n+1) \Rightarrow b= n \ \vee \  b < n $

olur. 

$\textbf{ I.Durum:} \ b = n $ olsun.

$ b=n \Rightarrow n\in X$.

$\textbf { II.Durum: } \ b< n $ olsun.

$b < n \Rightarrow n\notin A$ olur yani $ n+1\notin A \Rightarrow n\notin A \ ... (2) $

$ (1) , (2) \Rightarrow A = \mathbb {N} $ olur ve $ A \neq \mathbb {N} $ olması ile çelişiriz.

Dolayısıyla bu iki durumda incelendiğinde: $$ [ n+1\notin A \Rightarrow n\in X ] $$

önermesinin doğru olduğunu görürüz. Yani $$ [ n\notin X \Rightarrow n+1 \in A ] $$ önermesi doğru olur. Fakat $n+1 \notin A$ olduğundan çelişki. Dolayısıyla $ n\in X$ olur.

Şimdi $$ (\forall b\in X)(n\leq b)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Varsayalım ki $$ (\exists b\in X)(b < n ) $$ önermesi doğru olsun.

$(\exists b\in X)(b<n) \Rightarrow n\notin A $ olur. Buradan $$ [ n\in A \Rightarrow n+1 \in A]  \ ...(3) $$ önermesinin doğru olduğunu görürüz. 

$(1),(3) \Rightarrow A=\mathbb{N} $ olur. Fakat $A\neq \mathbb{N} $ olduğundan çelişki. O halde $$ (\forall b\in X)(n\leq b) $$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla $$ [ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b)] $$ önermesi doğru olur. Yani $\min X= n.$

(405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,240 soru
21,759 cevap
73,401 yorum
2,069,816 kullanıcı