Question

$a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$a < b \Rightarrow (\exists x\in\mathbb{R}) (a < x < b)$$

olduğunu gösteriniz.

Comments

Bunun yanıtı kolay.

$$\left.\begin{array}{rr} a<b\Rightarrow 2a<a+b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2} \\  \\ a<b\Rightarrow a+b<2b  \Rightarrow \frac{a+b}{2}<b\end{array}\right\}\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}<b$$

olduğundan 

$$x:=\frac{a+b}{2}$$ almak yeterli olacaktır. Ayrıca toplama ve çarpma $\mathbb{R}$ üzerinde birer işlem olduğundan $x\in\mathbb{R}$ olduğu açık.

Sorun tam olarak bu mu? Yoksa şunu mu sormak istemiştin?

$$a,b\in\mathbb{R} \text{ olmak üzere } a<b\Rightarrow (\exists x\in\mathbb{Q})(a<x<b).$$

---

Sorum tam olarak buydu hocam fakat sorunun cevabı için Arşimet özelliğini kullanarak diğer soruyu sormayı hedefliyordum.

Answer 1

Soru yanıtsız kalmasın.  $$\left.\begin{array}{rr} a<b\Rightarrow 2a<a+b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2} \\  \\ a<b\Rightarrow a+b<2b  \Rightarrow \frac{a+b}{2}<b\end{array}\right\}\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}<b$$

olduğundan 

$$x:=\frac{a+b}{2}$$ almak yeterli olacaktır. Ayrıca toplama ve çarpma $\mathbb{R}$ üzerinde birer işlem olduğundan $$x\in\mathbb{R}$$ olduğu da açık.

Answer 2

Bende etiketlere sadık kalarak bir cevap yazayım:

$\left.\begin{array}{rr} a < b \Rightarrow 0 < b-a \\ \\ \text{Arşimet Özelliği} \end{array}\right\} \Rightarrow  (\exists n\in\mathbb{N})(\frac{1}{n} < b-a)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 1< n.(b-a)= n.b - n.a \Rightarrow 1 + n.a < n.b \Rightarrow n.a < 1+n.a < n.b \\ \\ n\in\mathbb{N} \Rightarrow 0\leq n \Rightarrow 0 < \frac{1}{n} \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow a < \frac{1}{n} + a < b$

olduğundan 

$$x:= \frac{1} {n} + a$$

almak yeterli olacaktır. $x\in\mathbb{R}$ olduğu da açıktır.