Hatalı Çözümüm: $n$ tek sayı ise $n^{30}+1$ çift sayı olduğundan en küçük asal böleni $2$ dir. Bu şekilde $51$ tane değer oluşacağından $n$ nin tek değerlerinin toplama katkısı $2\cdot 51 = 102$ dir.
Şimdi $n$ nin çift değerlerini inceleyelim. $n^{30}+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $p$ ise $n^{30}+1 \equiv 0 \pmod{p} $ olup $n^{30} \equiv -1 \pmod{p}$ ve $n^{60} \equiv 1 \pmod{p}$ elde edilir. Buradan $n$ nin $\mod{p}$ deki mertebesinin $60$ veya $60$'ın bir pozitif böleni olabileceğini anlarız. Öte taraftan bu mertebe $30$ veya $30$'un bir böleni olamaz. Dolayısıyla $1\leq n \leq 102$ çift sayısının $\mod{p}$ deki mertebesi $4, 12, 20, 60$ değerlerinden birine eşit olacaktır. Fermat teoreminden dolayı $n^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ olduğunu biliyoruz. Böylece $4|p-1$, $12|p-1$, $20|p-1$ veya $60|p-1$ olur. Her durumda, bir $k_n\in \mathbb Z$ için $p_n=4k_n+1$ formundadır. Bu şekildeki $51$ tane sayının hepsini hata ile $4k+1$ ile göstererek çift $n$ ler için toplamı $51\cdot (4k+1) $ yazdım. Böylece $$ \sum_{n=1}^{102} p_n = 102 + 51\cdot (4k+1) \equiv 9 \pmod{12}$$ elde ettim. Hatalı yanıtım $\boxed{C}$ oluyor.
Çözümün Doğru Biçimi: Çift $n$ değerleri için $p_n$ değerlerini ve bunların $\mod{12}$ deki değerlerini gerçekten bulmak gerekiyor gibi görünüyor. Sercan bey'in ilettiği wolframalpha bağlantısından faydalanarak $n=2,4,6, \dots, 100, 102$ için $p_n \pmod{12}$ dizisi
$$ 5, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 5, \\ 1, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 1 , 1, 5, 1, 5 $$ elde ediliyor. Tüm bunların toplamından $$ \sum_{n=1}^{102} p_n \equiv 102 + 163 \equiv 1 \pmod{12}$$ bulunur. Doğru yanıt $\boxed{E}$ dir.