Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

$n^4+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $f(n)$ olmak üzere, $f(1)+f(2)+...+f(2014)$ toplamının $8$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

$n^4+1$ sayısını birkaç $n$ için denedim. Hepsi asal çıkınca asal kabul edip soruyu çözdüm doğru da çıktı fakat $n^4+1$ sayısı her zaman asal olur mu? Nasıl gösterebiliriz?

$n^4+1$ sayısı her zaman asal olmaz. Örnekler:

n, $ n^4+1$

3 82
5 626
7 2402
8 4097
9 6562

Doğru hata yapmışım ama yine de doğru cevap çıkmış. Sorunun çözümünü merak ettim şu an.

En küçük asal sayıların toplamı= 128741

Bu toplamın 8'e bölümünden kalan=5

Cozumu de yazabilir misin?

2014'e kadar $n^4+1$ hesaplanır. Bulunan sayıların asal sayılara bölünüp bölünemediği kontrol edilir.

EXCEL ile n=1 den n=2014'e kadar tüm doğal sayılar için $n^4+1$ bulunabilir. En küçük asal sayıdan başlayarak  2,3,5,7 ... sayılarına bölünüp bölünemediği kontrol edilir. $n^4+1$ sayılarını elle hesaplamak için harcanacak zaman boşa geçmiş sayılır. EXCEL ile en çok 1 dakika alır. Sütunu seri doldur, formülü sonuna kadar kopya çek.


Sen bilgisayar olimpiyatcisi misin? Tubitak matematik olimpiyati sorusuydu bu yani cozenlerin excel kullanma sansi oldugunu sanmiyorum.

Şu anda sınavda değiliz. Sınav sorusu olduğunu baştan söyleseydin olmaz mıydı?

Ona göre sana cevap verilirdi. Kaldı ki sınav sorusuysa cevabını  internette, 

örneğin ALTIN NOKTA  olimpiyat kitaplarında bulabilirsin.

Bu arada cevap $1$ degil $5$ olacakmis cevap anahtarinda oyle yaziyor.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Biraz geç ama cevap yazalım.

$n$ sayısı tek olduğunda $n^4 + 1$ ifadesi çift sayı olacağından $f(n)$ ifadesinin $2$ olacağı gayet açıktır.

yani bu demektir ki $f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+.....+f(2013)$ toplamı $1007.2 = 2014$ olacaktır. Fakat çift sayılar için sorun baya büyük.

Ben ilk olarak $n^4+1$ ifadesini çarpanlara ayırmaya çalıştım. Baktım ki tam katsayılı çarpanlarına ayrılamıyor. Yapacak başka bir şey düşünmeye başladım.

$Tanım$ : Küçük fermat teoremi

$OBEB(a,b) = 1$ ve $p$ asal sayı olmak şartıyla $a^{p-1} = 1 ( mod p)$ denkliği sağlanır.

Bizim aradığımız şey $n$ çift sayı iken $n^4 + 1 = 0 (mod f(n))$  denkliğinin sağlanmasıdır. Burada biz denkliği $ n^8 = 1 (mod f(n))$  şeklinde düzenleriz. Fermat teoreminden $n^{f(n)-1} = 1 (mod f(n))$ olması gerektiği ortaya çıkar. Yani $n$ çift sayı iken $f(n) = 8k+1$ şeklinde olacaktır.

Buradan $f(2)+f(4)+.....+f(2014) = 8k + 1007$ yani $8$ ile bölümünden kalan $7$ olacaktır. Diğer toplamı da eklersek

$f(1)+f(2)+....+f(2014) = 7 + 2014$ olacaktır ki bu toplam mod 8 de 5 e denktir.

(881 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Çok teşekkürler Doğukan, emeğine sağlık :)

Rica ederim :) :)

20,239 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,058,751 kullanıcı