$2019^8 + 1$ sayısının en küçük tek asal böleni kaçtır?
Kaynak ve Not: Soru 2019 AIME (American Invitational Mthematical Examination) isimli sınavda sorulmuştur. Bizdeki Tübitak Lise 1. Aşama Sınavı'na karşılık geliyor. Lisans seviyesinde bazı sayılar teorisi kavramları kullanılabileceği için bu başlık içinde soruyu sundum. Sınavda herhangi bir hesap programı kullanmak yasaktır. Buna dikkat ederek problem çözülmelidir.
2 değil mi? (sayı çift)
En küçük tek asal böleni mi sorulmuş acaba?
$2019$un mertebesi$\!\!\mod p$ altinda $16$ olmali. Bu da $16\mid (p-1)$ saglanmasini gerektirir. Bu ozelligi saglayan
ilk asal $17$: $$2019^8+1\equiv (-4)^8+1\equiv (-1)^4+1 \equiv 2 \mod 17.$$ Ikinci asal $97$: $$2019^8+1\equiv (-8)^8+1\equiv 64^4+1 \equiv 33^4+1$$$$\equiv (99\cdot 11)^2+1 \equiv 22^2+1 \equiv 485 \equiv 0 \mod 97.$$