Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
153 kez görüntülendi

Hocamızın sınav sorusunun cevabında Limit geliyor.İnternette baya araştırdım leibniz kuralında limit bulamadım.Hocamız nasıl bir yöntem izlemiş limit nasıl oluşmuş anlatır mısınız?image image

Lisans Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından  | 153 kez görüntülendi

Leibniz Kuralını yazabilir misin?

Limiti işe karıştırmadan üçüncü terimde $t=0$ koymayı denedin mi? Neyle karşılaşacaksın? Genel olarak alt sınır $\varphi(x)$ şeklinde bir fonksiyon ve integrant $f(t)$ ise, o zaman üçüncü terim Leibniz kuralına göre, $$\varphi'(x) f[t=\varphi(x)]$$ olur. Sizin probleminizde doğrudan $t=0$ yazmak mümkün müdür?

evet 0 tanımlı.Leibniz kuralındaki terimleri uygun yerlerine yazdığımda elde ettiğim sonuç (2sinx^2)/x fakat cevap (4sinx^2)/x limitli ifade leibniz kuralında bulunmuyor.Hocamız neden nasıl kullanmış anlayamadım?


Peki paydadaki $0$ problem yaratmaz mı? Evet, yaratabilir; bu yüzden dikkatli davranmak gerekli. Nitekim aşağıdaki çözümde açıklanmış.

$t=0$ ın tanımlı olduğunu söylemişsiniz; doğru fakat hangi bağlamda? Has olmayan integral bağlamında.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Leibniz kuralı, çoğu zaman $\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt$ yi bulmak için kullanılır.

Ama burada, biraz farklı olarak, $\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,dt$ bulunmak isteniyor. 

İntegrand yalnızca $t$ ye değil, $x$ e de bağlı.  Bu durumda (diğer koşullar sağlandığında):

$\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,dt=\int_{g(x)}^{h(x)}\frac {\partial f(x,t)}{\partial x}\,dt+f(x,h(x))h'(x)-f(x,g(x))g'(x)$ 

oluyor. ( burada)

Bu nedenle, formülde,$\int_{g(x)}^{h(x)}\frac {\partial}{\partial x}f(x,t)\,dt=\int_0^{x^2}\frac{\cos(x\sqrt t)}{\sqrt t}\,dt=\left.2\frac{\sin(x\sqrt t)}x\right|_0^{x^2}=\frac{2\sin(x^2)}x$ 

terimi de ortaya çıkıyor.

(integralin özge(=has olmayan=improper) olması ($\frac{\sin(x\sqrt t)}t$ nin 0 da süreksiz olması) nedeniyle, son terim, yerine limit yazılmış)

(edit: biraz kısaltma, biraz daha açıklama)

(4.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Evet haklısınız.Ben improper integrale çalışmayı son akşama bıraktığım için Limit'in sebebini anlayamamıştım.Şimdi biraz baktım ve anladım cevabınız için teşekkürler :)

18,072 soru
20,666 cevap
66,420 yorum
18,762 kullanıcı