Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

\lim\limits_{\omega\to\infty}\:\int_0^\infty\,\frac{1}{\sqrt{1+x^\omega}}\:dx

Limitini hesaplayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

Bu cevaptaki ifadeye n=0, p=2 koyarsak \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w) esitligini elde ederiz. Limiti de 0 yapiyor. 

Not: limitin sifir yapmasi degerlerin sifir oldugu anlamina gelmez, en nihayetinde integraller pozitif degerler aliyor.

Not 2: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur.

Ben cevabı 1 olarak buldum.Sanırım \Gamma(\frac{1}{\omega}) ifadesini atladınız.Bilmiyorum belki de ben yanlış yapmışımdır , burda hoca olan sizsiniz :) 

hoca? ben senin yazdiklarina bakarak ogreniyorum bunlari az cok. Asagidaki w'dan dolayi 0, geri kalani (total olarak) 1'e gidiyor.

\displaystyle\lim_{\omega\to0}\int_0^1\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=1 ve \displaystyle\lim_{\omega\to\infty}\int_1^\infty\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=0 olduğunu göstermek zor olmamalı.

Bu esitliklerin saglanmasi durumunda ya linkteki cevapta ya da benim buraya uygulamamda bir hata var. 

\lim\limits_{w\to\infty}\frac{\Gamma(\frac{1}{\omega})}{\omega}=1 olduğuna göre (Wolfram-Alpha'dan aldım , ispatını bilmiyorum , ayrıca sorulabilir) yukarıdaki \frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w) ifadesinin limitinin 1 olduğu bulunur.

Ben böyle yaptım.

Haklisin. Ben \Gamma(0)'i 1'mis gibi dusundum.

Gamalı ifadenin limitini buldum :

\lim\limits_{\omega\to\infty} \frac{1}{\omega}\Gamma(\frac{1}{\omega})=\lim\limits_{\omega\to\infty} \Gamma(\frac{1}{\omega}+1)=\Gamma(1)=0!=1

Ben L' hopital dusunmustum de, bu daha hosmus.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Yorumlar isiginda cevabi tekrar yaziyorum:
Bu cevaptaki ifadeye n=0, p=2 koyarsak \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w) esitligini elde ederiz. Limiti de 1 yapiyor. 

Not: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur. 

(25.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,289 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,620,565 kullanıcı