Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
827 kez görüntülendi

$$\lim\limits_{\omega\to\infty}\:\int_0^\infty\,\frac{1}{\sqrt{1+x^\omega}}\:dx$$

Limitini hesaplayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 827 kez görüntülendi

Bu cevaptaki ifadeye $n=0, p=2$ koyarsak $$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w)$$ esitligini elde ederiz. Limiti de $0$ yapiyor. 

Not: limitin sifir yapmasi degerlerin sifir oldugu anlamina gelmez, en nihayetinde integraller pozitif degerler aliyor.

Not 2: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur.

Ben cevabı $1$ olarak buldum.Sanırım $\Gamma(\frac{1}{\omega})$ ifadesini atladınız.Bilmiyorum belki de ben yanlış yapmışımdır , burda hoca olan sizsiniz :) 

hoca? ben senin yazdiklarina bakarak ogreniyorum bunlari az cok. Asagidaki $w$'dan dolayi $0$, geri kalani (total olarak) $1$'e gidiyor.

$\displaystyle\lim_{\omega\to0}\int_0^1\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=1$ ve $\displaystyle\lim_{\omega\to\infty}\int_1^\infty\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=0$ olduğunu göstermek zor olmamalı.

Bu esitliklerin saglanmasi durumunda ya linkteki cevapta ya da benim buraya uygulamamda bir hata var. 

$\lim\limits_{w\to\infty}\frac{\Gamma(\frac{1}{\omega})}{\omega}=1$ olduğuna göre (Wolfram-Alpha'dan aldım , ispatını bilmiyorum , ayrıca sorulabilir) yukarıdaki $\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w)$ ifadesinin limitinin $1$ olduğu bulunur.

Ben böyle yaptım.

Haklisin. Ben $\Gamma(0)$'i $1$'mis gibi dusundum.

Gamalı ifadenin limitini buldum :

$$\lim\limits_{\omega\to\infty} \frac{1}{\omega}\Gamma(\frac{1}{\omega})=\lim\limits_{\omega\to\infty} \Gamma(\frac{1}{\omega}+1)=\Gamma(1)=0!=1$$

Ben L' hopital dusunmustum de, bu daha hosmus.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Yorumlar isiginda cevabi tekrar yaziyorum:
Bu cevaptaki ifadeye $n=0, p=2$ koyarsak $$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w)$$ esitligini elde ederiz. Limiti de $1$ yapiyor. 

Not: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur. 

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,138,535 kullanıcı