\lim\limits_{\omega\to\infty}\:\int_0^\infty\,\frac{1}{\sqrt{1+x^\omega}}\:dx
Limitini hesaplayınız.
Bu cevaptaki ifadeye n=0, p=2 koyarsak \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w) esitligini elde ederiz. Limiti de 0 yapiyor. Not: limitin sifir yapmasi degerlerin sifir oldugu anlamina gelmez, en nihayetinde integraller pozitif degerler aliyor. Not 2: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur.
Ben cevabı 1 olarak buldum.Sanırım \Gamma(\frac{1}{\omega}) ifadesini atladınız.Bilmiyorum belki de ben yanlış yapmışımdır , burda hoca olan sizsiniz :)
\displaystyle\lim_{\omega\to0}\int_0^1\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=1 ve \displaystyle\lim_{\omega\to\infty}\int_1^\infty\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=0 olduğunu göstermek zor olmamalı.
Bu esitliklerin saglanmasi durumunda ya linkteki cevapta ya da benim buraya uygulamamda bir hata var.
\lim\limits_{w\to\infty}\frac{\Gamma(\frac{1}{\omega})}{\omega}=1 olduğuna göre (Wolfram-Alpha'dan aldım , ispatını bilmiyorum , ayrıca sorulabilir) yukarıdaki \frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w) ifadesinin limitinin 1 olduğu bulunur.
Ben böyle yaptım.
Gamalı ifadenin limitini buldum :
\lim\limits_{\omega\to\infty} \frac{1}{\omega}\Gamma(\frac{1}{\omega})=\lim\limits_{\omega\to\infty} \Gamma(\frac{1}{\omega}+1)=\Gamma(1)=0!=1
Yorumlar isiginda cevabi tekrar yaziyorum:Bu cevaptaki ifadeye n=0, p=2 koyarsak \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w) esitligini elde ederiz. Limiti de 1 yapiyor. Not: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur.