İlk olarak şu eşitliği göstermek istiyoruz;
$$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\;dy\right)=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f_x(x,y)\;dy$$
Dolayısıyla ,türevin limit tanımını kullanalım;
$$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\;dy\right)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x+h,y)dy-\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)dy}{h}$$
$$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}(f(x+h,y)-f(x,y))dy}{h}$$
$$=\lim\limits_{h\to0}\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy$$
Ama olay burada patlak veriyor, limiti öylece içeri alabilir miyiz?
$$=\lim\limits_{h\to0}\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\left(\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\right)dy$$
İçeri alabilirsek zaten istediğimiz sonucu buluyoruz ama neden ve nasıl?
$$=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f_x(x,y)dy$$
Bu limiti içeri nasıl dağıtırım?
Genelleştirmek gerekirse, aşağıdaki durum için gereklilikleri veriniz.
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(\lim\limits_{x\to a} x)$