İntegral Leibniz

Question

Hocamızın sınav sorusunun cevabında Limit geliyor.İnternette baya araştırdım leibniz kuralında limit bulamadım.Hocamız nasıl bir yöntem izlemiş limit nasıl oluşmuş anlatır mısınız?

Comments

Leibniz Kuralını yazabilir misin?

---

Limiti işe karıştırmadan üçüncü terimde $t=0$ koymayı denedin mi? Neyle karşılaşacaksın? Genel olarak alt sınır $\varphi(x)$ şeklinde bir fonksiyon ve integrant $f(t)$ ise, o zaman üçüncü terim Leibniz kuralına göre, $$\varphi'(x) f[t=\varphi(x)]$$ olur. Sizin probleminizde doğrudan $t=0$ yazmak mümkün müdür?

---

http://mathworld.wolfram.com/LeibnizIntegralRule.html

---

evet 0 tanımlı.Leibniz kuralındaki terimleri uygun yerlerine yazdığımda elde ettiğim sonuç (2sinx^2)/x fakat cevap (4sinx^2)/x limitli ifade leibniz kuralında bulunmuyor.Hocamız neden nasıl kullanmış anlayamadım?

---

Peki paydadaki $0$ problem yaratmaz mı? Evet, yaratabilir; bu yüzden dikkatli davranmak gerekli. Nitekim aşağıdaki çözümde açıklanmış.

$t=0$ ın tanımlı olduğunu söylemişsiniz; doğru fakat hangi bağlamda? Has olmayan integral bağlamında.

Answer 1

Leibniz kuralı, çoğu zaman $\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt$ yi bulmak için kullanılır.

Ama burada, biraz farklı olarak, $\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,dt$ bulunmak isteniyor. 

İntegrand yalnızca $t$ ye değil, $x$ e de bağlı.  Bu durumda (diğer koşullar sağlandığında):

$\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,dt=\int_{g(x)}^{h(x)}\frac {\partial f(x,t)}{\partial x}\,dt+f(x,h(x))h'(x)-f(x,g(x))g'(x)$ 

oluyor. ( burada)

Bu nedenle, formülde,$\int_{g(x)}^{h(x)}\frac {\partial}{\partial x}f(x,t)\,dt=\int_0^{x^2}\frac{\cos(x\sqrt t)}{\sqrt t}\,dt=\left.2\frac{\sin(x\sqrt t)}x\right|_0^{x^2}=\frac{2\sin(x^2)}x$ 

terimi de ortaya çıkıyor.

(integralin özge(=has olmayan=improper) olması ($\frac{\sin(x\sqrt t)}t$ nin 0 da süreksiz olması) nedeniyle, son terim, yerine limit yazılmış)

(edit: biraz kısaltma, biraz daha açıklama)

Comments

Evet haklısınız.Ben improper integrale çalışmayı son akşama bıraktığım için Limit'in sebebini anlayamamıştım.Şimdi biraz baktım ve anladım cevabınız için teşekkürler :)