Question

İlgili linkteki fonksiyonun $\pi$ noktasında sürekli olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$c\in\mathbb{R}$ olsun. $f$ nin $c$ de sürekli olduğunu varsayıp, bir çelişki bulacağız.

$f(c)=0$ veya $f(c)=1$ olacaktır. Her iki durumda da

$\{0,1\}\nsubseteq(f(c)-1,f(c)+1)$ olur.

$\varepsilon=1$ alalım.

Eğer $f,\ c$ de sürekli ise, $|x-c|<\delta$ eşitsizliğini sağlayan her $x\in\mathbb{R}$ için $|f(x)-f(c)|<\varepsilon=1$ olacak şeklide bir $\delta>0$ sayısı var olur.

Bu ise:

$\forall x\in(c-\delta,c+\delta)$ için $f(x)\in(f(c)-1,f(c)+1)$ 

olması demektir.

$(c-\delta,c+\delta)$  bir aralık olduğu için, içinde hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar bulunur.

$x\in(c-\delta,c+\delta),\ x\in\mathbb{Q}$ olsun. $f(x)=1\in(f(c)-1,f(c)+1)$ olur.

$y\in(c-\delta,c+\delta),\ y\notin\mathbb{Q}$ olsun. $f(y)=0\in(f(c)-1,f(c)+1)$ olur.

Bu ikisinden,

$\{0,1\}\subseteq(f(c)-1,f(c)+1)$ elde edilir. Çelişki.

Answer 2

$f$ fonksiyonunun $π$ noktasında sürekli olduğunu varsayalım ve $\epsilon=1$ alalım. Bu durumda

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon=1 \\ \\ f, \ π \text{'de sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists \delta>0) (\mathbb{R}\cap (π-\delta,π+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(π)-1,f(π)+1)] )$

$\Rightarrow (\exists \delta>0) ((π-\delta,π+\delta) \subseteq f^{-1}[(-1,1)])$

$\Rightarrow (\exists \delta>0) (f(π-\delta,π+\delta)\subseteq (-1,1))$

$\Rightarrow \{0,1\}\subseteq (-1,1)$

çelişkisi elde edilir.

Answer 3

Doğan hocam fonksiyonun hiçbir noktada sürekli olmadığını kanıtlamış. Kanıt gayet açık. Biz de bu linkte yer alan teorem yardımıyla yapılmış bir çözüm ekleyelim:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$$ olduğunu  biliyoruz (Neden?)

$$4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}=4\left(1-\frac13\right)+4\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots $$ olduğundan $$x_n=4\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}\right)=8\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(4k+1)(4k+3)}$$ kısmi toplamlar dizisi artan ve $\pi$ sayısına yakınsayan bir rasyonel sayı dizisi olur.  $$(x_n)_n\in\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$$ ve $$x_n\to\pi$$ fakat $$f(x_n)=1\to 1\neq 0=f(\pi)$$ olduğundan bu linkteki teorem uyarınca $f$ fonksiyonu $\pi$ noktasında sürekli değildir.