Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
652 kez görüntülendi

Aşağıdaki integrali kaç farklı biçimde çözebilirsiniz?

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) dx $$

Kaynak: Twitter.

Lisans Matematik kategorisinde (2.5k puan) tarafından  | 652 kez görüntülendi
Adamın yazısını okuyup anlayabildim.buda bir başarı sayılabilir.soruyuda anladım,1/,2 şekilde çözerim heralde. ^^

Değişken değiştirme ile $$ 2I=\int_{0}^{\pi/2}\left(\ln (\sin 2x) - \ln 2\right )dx $$ biçimine getirdikten sonra bir şeye benzemeyecek sanarak biraz erken bıraktım soruyu. Çözümü inceleyince bitirmeye yaklaştığımı gördüm, sağlık olsun. Estetik bir soru gerçekten, teşekkürler ... Belki kompleks integraller yardımıyla diğer çözüm yolları bulunabilir.



Tabii ki Python'la :)))
Daha doğrusu Monte Carlo simülasyonla.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\sin(x) = x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$

 

$\ln(\sin(x)) = \ln(x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})) = \ln(x) + \sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$

 

$\ln(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}) =\ln(1-\frac{x}{n\pi}) + \ln(1+\frac{x}{n\pi}) $

 

$\ln(\sin(x)) = \ln(x) + \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1-\frac{x}{n\pi}) + \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+\frac{x}{n\pi})$

 

 

$\int\ln{x} \mathrm{dx} = x \cdot( \ln(x) - 1) + C$

$\int\ln(1-\frac{x}{a}) \mathrm{dx} =  (x - a)\cdot(\ln(1-\frac{x}{a}) - 1) + C$

$\int\ln(1+\frac{x}{a}) \mathrm{dx} =  (x + a)\cdot\ln(1-\frac{x+a}{a}) - x + C$

 

$\int \ln(\sin(x)) = x \cdot( \ln(x) - 1)  + \sum_{n=1}^{\infty} (x-n\pi)(\ln(1-\frac{x}{n\pi})-1)  +\sum_{n=1}^{\infty} (x+n\pi)\ln(1+\frac{x+n\pi}{n\pi})-x + c$

devami baska gune artik
(1.6k puan) tarafından 
20,284 soru
21,823 cevap
73,509 yorum
2,571,639 kullanıcı