Bu integrali kaç farklı şekilde çözebilirsiniz?

Question

Aşağıdaki integrali kaç farklı biçimde çözebilirsiniz?

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) dx $$

Kaynak: Twitter.

Comments

Adamın yazısını okuyup anlayabildim.buda bir başarı sayılabilir.soruyuda anladım,1/,2 şekilde çözerim heralde. ^^

---

Değişken değiştirme ile $$ 2I=\int_{0}^{\pi/2}\left(\ln (\sin 2x) - \ln 2\right )dx $$ biçimine getirdikten sonra bir şeye benzemeyecek sanarak biraz erken bıraktım soruyu. Çözümü inceleyince bitirmeye yaklaştığımı gördüm, sağlık olsun. Estetik bir soru gerçekten, teşekkürler ... Belki kompleks integraller yardımıyla diğer çözüm yolları bulunabilir.

---

Tabii ki Python'la :)))

---

Daha doğrusu Monte Carlo simülasyonla.

Answer 1

$\sin(x) = x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$

 

$\ln(\sin(x)) = \ln(x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})) = \ln(x) + \sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$

 

$\ln(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}) =\ln(1-\frac{x}{n\pi}) + \ln(1+\frac{x}{n\pi}) $

 

$\ln(\sin(x)) = \ln(x) + \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1-\frac{x}{n\pi}) + \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+\frac{x}{n\pi})$

 

 

$\int\ln{x} \mathrm{dx} = x \cdot( \ln(x) - 1) + C$

$\int\ln(1-\frac{x}{a}) \mathrm{dx} =  (x - a)\cdot(\ln(1-\frac{x}{a}) - 1) + C$

$\int\ln(1+\frac{x}{a}) \mathrm{dx} =  (x + a)\cdot\ln(1-\frac{x+a}{a}) - x + C$

 

$\int \ln(\sin(x)) = x \cdot( \ln(x) - 1)  + \sum_{n=1}^{\infty} (x-n\pi)(\ln(1-\frac{x}{n\pi})-1)  +\sum_{n=1}^{\infty} (x+n\pi)\ln(1+\frac{x+n\pi}{n\pi})-x + c$

devami baska gune artik