Matematikte ilk önce sabit olay büyüklükler(sayılar) ile işlemler yapmayı öğreniriz. Sonra belki sabit olan geometrik şekilleri, onların uzunluğunu, alanını, hacmini hesaplamayı öğreniriz. Bunlar olduğu yerde duran şeylerin matematiği.
Oysa bir yandan sürekli değişim içinde olan bir dünya var. Zaman değişiyor, mevsimler değişiyor, boyumuz değişiyor, kilomuz değişiyor, yürüyoruz(konumumuz değişiyor)... Fonksiyon değişimi ifade etmeye yarayan matematiksel kavramdır.
Değişecek şeyleri, onların nasıl değiştiğini ve değişimin sonucunda neye dönüştüklerini aynı anda ifade eder. Değişecek şeyleri bir kümenin elemanları olarak görürüz. Değişimin sonucunda çıkanları da bir kümenin elemanları olarak modelleriz. Bir de hangi elemanın neye dönüştüğünü söyleyen bir ilişki koyarız ortaya.
Bunu matematikte $f:A\rightarrow B$ olarak yazarız, $A$ tanım kümesidir(değişime uğrayacaklar), $f$ neyin nasıl değişeceğini söyleyen ilişkidir, $B$ de değişimin sonucunda elimize geçecekleri içeren bir kümedir, buna görüntü kümesi de denir.
Fonksiyonun tanım kümesindeki her eleman hakkında bir şey söylemesini isteriz. Eğer fonksiyonumuzun hakkında iddiada bulunmadığı bir eleman varsa onu tanım kümesine eklemeyi gereksiz buluruz. Tanım kümesindeki her elemanın tek bir görüntüsü olsun isteriz. Yani değişime uğrayacak eleman tek bir şekilde değişime uğrasın, hem öyle, hem böyle değişmesin. Bu sebeple fonksiyon tanımında 'Tanım kümesindeki her $x\in A$ için $f(x)=y$'yi sağlayacak tek bir $y\in B$' olsun deriz.
Bu açıdan çoğu şey fonksiyondur, bir okulu düşün, sabah öğrenciler içeri giriyor, akşam değişmiş olarak çıkıyor. Kola makinesine metal bir para atıyoruz, içi sıvı dolu başka bir metal çıkıyor. Sinüs fonksiyonuna $x$ veriyoruz, o bize $sin(x)$ veriyor.