Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim.
Yazdığınız işlemlerden yola çıkarak son şeklini vermeye çalıştım.
(∀A⊆X)(A=f−1[f[A]])....(∗) önermesinin doğru olduğunu göstermek için birbirlerinin altkümesi olduğunu göstermeliyiz.
Amacımız (1) A⊆f−1[f[A]] ve (2)f−1[f[A]]⊆A (1),(2) olduğunu göstermek.
Başlayalım.
(∀A⊆X)(x∈A)
f[x]={f(x) ∣x∈X } ⟹ f(x)∈f[A] ⟹ x∈f−1[f[A]]
f, fonksiyonunun birebir olduğunu varsayalım ve herhangi bir A⊆X altkümesini düşünelim.
Elimizde A⊆f−1[f[A]] bilgisi var.
x∈f−1[f[A]] ⟹ f(x)∈f[A] ⟹∃x′∈A[f(x)=f(x′)] diyebiliriz.
f,fonksiyonunun birebir olduğunu varsaydığımızdan
x=x′ ve x′∈A⟹x∈A olacaktır.
O halde f−1[f[A]⊆A 'dır.
(1),(2) 'den A=f−1[f[A]]
Amacımıza ulaştık.
Son halini bu kadar devam ettirebildim,
umarım doğrudur.
Teşekkürler.