Question

$f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomunun $Q[x]$ ve $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemez olup olmadığını araştırınız.

Tamam bu polinom Eisenstein kriterine uyumlu hatta gosterelim..

$p=5$ asalı için  $5\mid10,-15,25$ ve $5\not\mid -7$ ve $5^2\not\mid10$ olduğundan $f(x)$ polinomu Eisenstein kriterini sağlar..Anlayamadigim nokta $Q[x]$ üzerinde indirgenemezdir diyor sonra diyorki.. ve polinom ilkel(primitif) olduğundan $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde de indirgenemezdir.

Pirimitif polinom; katsayıların obeblerinin $1$ olması yani benim anladıgım çarpanlarına ayrilamayan demek sanırım..Sorum şu polinom ilkel oldugundan $\mathbb{Z}[x]$ uzerinde de indirgenemezdir bunun sebebi benim pirimitif polinom tanımından anladığım sebep yuzundenmi yoksa baska sebebimi var?

Comments

Bu dedigin "Gauss's Lemma" sinin bir sonucu.

---

Evet $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemezlik $Q[x]$ uzerinde indirgenemezlige esdegerdir diyor sonuc.. ama neden?

---

Nedeni Pdf 169. Sayfada var ama kitapta primitif olduğundan diyor neden?

---

Bendeki kitapta boyle ispatlanmis..

---

Acaba rasyonel sayilar kumesi tam sayilar kumesini kapsadigindan dolayi olabilir mi

---

Primitif ten kasit monic polinom olabilir yani en yuksek dereceli terimin katsayisi 1 ise monic polinomdur ve bundan dolayi en buyuk ortak bolen otomatikman 1 olur.

---

Soruda verilen monik polinom degil ama primitif polinom dolayli yoldan soylemis olabilir yani ebobun $1$ olmasi Gauss un lemmasinin katkilariylada $\mathbb{Z}[x]$ indirgenemez oluyor galiba..

Answer 1

Eisenstein kriterinden, $f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomu, $\mathbb{Z}[x]$ de indirgenemezdir (daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamaz)

   Gauss un Lemmasından, $f(x),\  \mathbb{Q}[x]$ de de indirgenemezdir.

Gauss un Lemması:  "$f(x)\in  \mathbb{Z}[x],\ \mathbb{Q}[x]$ de indirgenebilir ise $f(x),\  \mathbb{Z}[x]$ de indirgenebilirdir" diyor. 

Eşdeğer olarak:

"$f(x)\in  \mathbb{Z}[x]$ olsun. $f(x),\  \mathbb{Z}[x]$ de indirgenemez ise $f(x),\  \mathbb{Q}[x]$ de indirgenemezdir" diyor.