Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
149 kez görüntülendi
$f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomunun $Q[x]$ ve $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemez olup olmadığını araştırınız.

Tamam bu polinom Eisenstein kriterine uyumlu hatta gosterelim..

$p=5$ asalı için  $5\mid10,-15,25$ ve $5\not\mid -7$ ve $5^2\not\mid10$ olduğundan $f(x)$ polinomu Eisenstein kriterini sağlar..Anlayamadigim nokta $Q[x]$ üzerinde indirgenemezdir diyor sonra diyorki.. ve polinom ilkel(primitif) olduğundan $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde de indirgenemezdir.

Pirimitif polinom; katsayıların obeblerinin $1$ olması yani benim anladıgım çarpanlarına ayrilamayan demek sanırım..Sorum şu polinom ilkel oldugundan $\mathbb{Z}[x]$ uzerinde de indirgenemezdir bunun sebebi benim pirimitif polinom tanımından anladığım sebep yuzundenmi yoksa baska sebebimi var?
Lisans Matematik kategorisinde (329 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 149 kez görüntülendi

Bu dedigin "Gauss's Lemma" sinin bir sonucu.

Evet $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemezlik $Q[x]$ uzerinde indirgenemezlige esdegerdir diyor sonuc.. ama neden?

Nedeni Pdf 169. Sayfada var ama kitapta primitif olduğundan diyor neden?

Bendeki kitapta boyle ispatlanmis..image image

Acaba rasyonel sayilar kumesi tam sayilar kumesini kapsadigindan dolayi olabilir mi

Primitif ten kasit monic polinom olabilir yani en yuksek dereceli terimin katsayisi 1 ise monic polinomdur ve bundan dolayi en buyuk ortak bolen otomatikman 1 olur.

Soruda verilen monik polinom degil ama primitif polinom dolayli yoldan soylemis olabilir yani ebobun $1$ olmasi Gauss un lemmasinin katkilariylada $\mathbb{Z}[x]$ indirgenemez oluyor galiba..


1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Eisenstein kriterinden, $f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomu, $\mathbb{Z}[x]$ de indirgenemezdir (daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamaz)

   Gauss un Lemmasından, $f(x),\  \mathbb{Q}[x]$ de de indirgenemezdir.

Gauss un Lemması:  "$f(x)\in  \mathbb{Z}[x],\ \mathbb{Q}[x]$ de indirgenebilir ise $f(x),\  \mathbb{Z}[x]$ de indirgenebilirdir" diyor. 

Eşdeğer olarak:

"$f(x)\in  \mathbb{Z}[x]$ olsun. $f(x),\  \mathbb{Z}[x]$ de indirgenemez ise $f(x),\  \mathbb{Q}[x]$ de indirgenemezdir" diyor.

(4.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
$\mathbb{Z}[x]$ de halkalardaki tanımı ile indirgenebilir ama polinomlardaki tanımı ile indirgenemez bir eleman var mıdır?
18,102 soru
20,673 cevap
66,502 yorum
18,782 kullanıcı