n∈N asal ve A:={x∈R|0≤x, x2<n} olsun.
1Neden?=12Neden?<n⇒1∈A⇒A≠∅…(1)
Şimdi de x∈A⇒x<n olduğunu yani A kümesinin her elemanının n sayısından küçük olduğunu görelim. x∈A olsun. x≮n yani n≤x olduğunu varsayarsak
n≤x⇒n2≤nxn≤x⇒nx≤x2}⇒n2≤nx≤x2x∈A⇒x2<n}⇒n2≤nx≤x2<n çelişkisini elde ederiz. O halde x∈A⇒x<n yani n∈Aü yani Aü≠∅ yani
A, kümesi üstten sınırlı…(2) olur.
(1),(2)SUP⇒(∃a∈R)(a=supA)1∈A}⇒0<1≤a⇒a∈R>0
Bir de a2=n olduğunu kanıtlarsak işimiz biter. Bunun için de I. Durum:a2≤n ve II. Durum:n≤a2 olduğunu göstermeliyiz. (Neden?).
I. Durum: a2≤n olmasın yani n<a2 olduğunu varsayalım.
n<a2⇒0<a2−na∈R>0}⇒0<a2−n2aArşimet Özelliği⇒(∃m∈N)(1m<a2−n2a)
⇒2am<a2−n⇒n<a2−2am<a2−2am+1m2=(a−1m)2b∈A⇒b2<n}⇒
⇒b2<n<(a−1m)2Neden?⇒b<a−1m
yani b∈A⇒b<a−1m olur. Bu ise bize a−1m sayısının A kümesinin bir üst sınırı olduğunu söyler ki bu da a=supA olması ile çelişir. Demek ki a2≤n…(3) olmalıdır.
II. Durum: n≤a2 olmasın yani a2<n olduğunu varsayalım.
a2<n⇒0<n−a2a∈R>0}⇒0<n−a22a+1Arşimet Özelliği⇒(∃m∈N)(1m<n−a22a+1)
⇒2a+1m<n−a2⇒(a+1m)2=a2+2am+1m2≤a2+2am+1m<n
⇒a+1m∈A
elde edilir ki bu da a'nın A kümesinin en küçük üst sınırı olması ile çelişir. Demek ki n≤a2…(4) olmalıdır.
O halde
(3),(4)Neden?⇒a2=n elde edilir.