Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
534 kez görüntülendi
n asal sayı olmak üzere karesi n olan pozitif bir gerçel sayının var olduğunu kanıtlayınız.
bir cevap ile ilgili: 2 sayısının varlığı
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 534 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

nN asal ve A:={xR|0x, x2<n} olsun.

1Neden?=12Neden?<n1AA(1)

Şimdi de xAx<n olduğunu yani A kümesinin her elemanının n sayısından küçük olduğunu görelim. xA olsun. xn yani nx olduğunu varsayarsak

nxn2nxnxnxx2}n2nxx2xAx2<n}n2nxx2<n çelişkisini elde ederiz. O halde xAx<n yani nAü yani Aü yani   

A, kümesi üstten sınırlı(2) olur. 

(1),(2)SUP(aR)(a=supA)1A}0<1aaR>0

Bir de a2=n olduğunu kanıtlarsak işimiz biter. Bunun için de I. Durum:a2n ve II. Durum:na2 olduğunu göstermeliyiz. (Neden?).

I. Durum: a2n olmasın yani n<a2 olduğunu varsayalım.

n<a20<a2naR>0}0<a2n2aArşimet Özelliği(mN)(1m<a2n2a)

2am<a2nn<a22am<a22am+1m2=(a1m)2bAb2<n}

b2<n<(a1m)2Neden?b<a1m 

yani bAb<a1m olur. Bu ise bize a1m sayısının A kümesinin bir üst sınırı olduğunu söyler ki bu da a=supA olması ile çelişir. Demek ki a2n(3) olmalıdır.  

II. Durum: na2 olmasın yani a2<n olduğunu varsayalım.

a2<n0<na2aR>0}0<na22a+1Arşimet Özelliği(mN)(1m<na22a+1)

2a+1m<na2(a+1m)2=a2+2am+1m2a2+2am+1m<n

a+1mA 

elde edilir ki bu da a'nın A kümesinin en küçük üst sınırı olması ile çelişir. Demek ki na2(4) olmalıdır.

O halde

(3),(4)Neden?a2=n elde edilir.

(11.5k puan) tarafından 
20,299 soru
21,848 cevap
73,553 yorum
2,760,758 kullanıcı