Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.7k kez görüntülendi

kapalı aralık üzerinde integrallenebilen fonksiyonların sınırlılığı

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 2.7k kez görüntülendi

Sen bu soruda ne düşündün/denedin ezeytun33?





f fonksiyonunun sınırlı olduğunu varsayarak [ a , b ]  aralığında bir  (a=x0<x1<x2<....<xn=b)  noktaları ile bir P parçalanması aldım. her [xj-1 , xj ] aralığı için f fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini alarak [ a , b ] aralığında f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen    alt   Riemann toplamı (* olsun) ve üst Rieman toplamı (** olsun)  ulaşıp ,                         * =< S( f , P ,tj) =< ** eşitsizliiğ elde ettim

$ f$ nin sınırlı olduğunu kabul ederek  başlayıp (zaten iddia bu!)  bu önermeyi ispatlayamayız.

(Genel olarak: ispat edilecek önermenin doğruluğunu kabul ederek başlayıp o önermeyi ispatlayamayız)

Şunlardan birini yapmalısın:

  • $f$ sınırsız olduğunu kabul edip, $[a,b]$ aralığında integrallenemediğini göstermek.(Doğrudan ispat)
  • $f$ nin $[a,b]$ aralığında integrallenebildiğini kabul edip sınırlı olduğunu göstermek. (Olmayana ergi yoluyla ispat)
  • $f$ nin, sınırsız ama integrallenebiliyor olduğunu kabul edip bir çelişki elde etmek.

En kolayının son yöntem olacağını düşünüyorum.


Bu iddia Riemann integrali için doğru (Lebesgue integrali için yanlış). 

Soru sahibinin (2. sıradaki) yorumundan Riemann integralini kastettiğini anlıyoruz.

Riemann integralini tanımlayabilmek için fonksiyonun bir $[a,b]$ aralığının HER noktasında tanımlı olması gerekir (ki dilediğimiz gibi Riemann toplamları oluşturabilelim).

Sizin fonksiyonunuz $1$ de tanımsız, ama $f(1)$ i tanımlardığınızda, nasıl (elbette 1 de  bir sayı değeri vermeyi kast ediyorum ) tanımlarsanız tanımlayın, o aralıkta sınırlı olacak ve o fonksiyon (Riemann anlamında)  integrallenebilir (doğrudan veya bir teorem kullanarak görülebilir) olacak.

(ve integrali de 1 de seçilen değerden bağımsız olacak)

İddianın doğru olduğu, benim önerdiğim  yöntemlerle gösterilebiliyor.

19,669 soru
21,375 cevap
71,798 yorum
163,237 kullanıcı