f fonksiyonu [ a , b ] aralığında integrallenebilir ise sınırlılığını gösteriniz.

Question

kapalı aralık üzerinde integrallenebilen fonksiyonların sınırlılığı

Comments

Sen bu soruda ne düşündün/denedin ezeytun33?

---


f fonksiyonunun sınırlı olduğunu varsayarak [ a , b ]  aralığında bir  (a=x0<x1<x2<....<xn=b)  noktaları ile bir P parçalanması aldım. her [xj-1 , xj ] aralığı için f fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini alarak [ a , b ] aralığında f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen    alt   Riemann toplamı (* olsun) ve üst Rieman toplamı (** olsun)  ulaşıp ,                         * =< S( f , P ,tj) =< ** eşitsizliiğ elde ettim

---

$ f$ nin sınırlı olduğunu kabul ederek  başlayıp (zaten iddia bu!)  bu önermeyi ispatlayamayız.

(Genel olarak: ispat edilecek önermenin doğruluğunu kabul ederek başlayıp o önermeyi ispatlayamayız)

Şunlardan birini yapmalısın:

• $f$ sınırsız olduğunu kabul edip, $[a,b]$ aralığında integrallenemediğini göstermek.(Doğrudan ispat)
• $f$ nin $[a,b]$ aralığında integrallenebildiğini kabul edip sınırlı olduğunu göstermek. (Olmayana ergi yoluyla ispat)
  
• $f$ nin, sınırsız ama integrallenebiliyor olduğunu kabul edip bir çelişki elde etmek.
  

En kolayının son yöntem olacağını düşünüyorum.

---

Bu iddia Riemann integrali için doğru (Lebesgue integrali için yanlış). 

Soru sahibinin (2. sıradaki) yorumundan Riemann integralini kastettiğini anlıyoruz.

Riemann integralini tanımlayabilmek için fonksiyonun bir $[a,b]$ aralığının HER noktasında tanımlı olması gerekir (ki dilediğimiz gibi Riemann toplamları oluşturabilelim).

Sizin fonksiyonunuz $1$ de tanımsız, ama $f(1)$ i tanımlardığınızda, nasıl (elbette 1 de  bir sayı değeri vermeyi kast ediyorum ) tanımlarsanız tanımlayın, o aralıkta sınırlı olacak ve o fonksiyon (Riemann anlamında)  integrallenebilir (doğrudan veya bir teorem kullanarak görülebilir) olacak.

(ve integrali de 1 de seçilen değerden bağımsız olacak)

İddianın doğru olduğu, benim önerdiğim  yöntemlerle gösterilebiliyor.