Biliniği gibi Dirichlet fonksiyonu ;
$d\neq c$ reel sayılar olmak üzere $D(x)=\begin{cases}c\quad x\in\mathbb{Q}\\d\quad x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$
genelde (türkçe) kaynaklarda bu fonksiyon $c=0$ , $d=1$ alınır.
şimdi Riemann integrali : Riemann toplamı ,
$$\int_a^b f(x)\;dx=\lim_{\max \Delta x_k\to0}\sum_{k=1}^nf(x^*)\Delta x_k$$
olup $(x_k)^*$ sayıları $[a, b]$ aralığının alt aralıklarına ( $[x_{k-1} , x_k]$ ) düşen , keyfi sayılar bu durumda dirichlet fonksiyonunun tanımı gereği $(x_k)^*$ saysı; rasyonelse $c$ değerini, irrasyonel bir sayıysa $d$ değerini alır ki bu da bizi farklı limit değerlerine götürür , yani limit tek değer almadığından integral mevcut değildir ,
Lebesque integralinin tanımında ise aralığımız $[a, b]$ kapalı aralığı olup
$E_0= \{x: x\in [a, b]\ ve \ x \ rasyonel\}$
ve
$E_1=\{x:x\in [a, b]\ ve \ x\ irrasyonel\}$
$\mu(E_0)=0$ ve $\mu(E_1)=1$
Lebesque ölçümleridir , ve bunları şöyle yorumlarız ,$E_0$ kümesi rasyonel
sayılardan teşkil edildiği için sayılabilir kümedir ve bu kümenin her bir elemanı tek noktalı kümeler teşkil edilerek tek tek ölçülebilir ve tek rasyonel noktalı kümenin ölçümü sıfırdır dolayısıyla $E_0$ kümesinin ölçümü $0$ dır. Şimdi $E_1$ kümesinin ölçümüne bakalım ;
$\mu([a, b])-\mu(E_0) =\mu(E_1)$ olur $E_1\cap E_0 =\phi$
. şimdi Lebesque integralini yapalım
$\sum_{i} \eta_i \mu(E_i)= c.0 + d.(b-a)$ $( i=0, 1)$
Riemann integrali toplamların limitine saygı duyar, Lebesque integrali ölçümlerin toplamına
saygı duyar. Bu yüzden Riemann anlamında integrali alınamayan fonksiyon sınıflarının Lebesque
anlamında integrali alınabilir.