$a\in\mathbb{Q}$ ve $a\in\mathbb{I}$ olmak üzere $2$ durum inceleyeceğiz. (Neden?)
I. Durum: $a\in\mathbb{Q}$ olsun.
$\epsilon=1$ olmak üzere her $\delta>0$ için $x:=\left\{\begin{array}{ccc} a+\frac{\delta}{\sqrt{2}} & , & \delta\in\mathbb{Q} \\ a+\frac{\delta}{2} & , & \delta\in\mathbb{I} \end{array}\right.$ seçilirse
$$|x-a|<\delta \wedge |f(x)-f(a)|=|f(x)-0|=f(x)=1\geq 1=\epsilon$$
koşulu sağlanır. Demek ki $a\in\mathbb{Q}$ olmak üzere $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli değil.
II. Durum: $a\in\mathbb{I}$ olsun.
$\epsilon=1$ olmak üzere her $\delta>0$ için $x:=\frac{\left\lfloor \left(\left\lfloor \frac{1}{\delta}\right\rfloor +1\right)a\right\rfloor}{\left\lfloor \frac{1}{\delta}\right\rfloor +1}\in\mathbb{Q}$ seçilirse
$$|x-a|<\frac{1}{\left\lfloor \frac{1}{\delta}\right\rfloor +1}<\frac{1}{\frac{1}{\delta}}=\delta \wedge |f(x)-f(a)|=|0-1|=1\geq 1=\epsilon$$
koşulu sağlanır. Demek ki $a\in\mathbb{I}$ olmak üzere $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli değil.
O halde $$(\exists \epsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in\mathbb{R})(|x-a|<\delta\wedge |f(x)-f(a)|\geq \epsilon)$$ önermesi doğrudur.