Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
322 kez görüntülendi
f(x)={0,xQ1,xQ kuralı ile verilen f:RR fonksiyonu için aR olmak üzere (ϵ>0)(δ>0)(xR)(|xa|<δ|f(x)f(a)|ϵ) önermesinin doğru olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 322 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

aQ  ve  aI  olmak üzere 2 durum inceleyeceğiz. (Neden?)

 

I. Durum: aQ  olsun.

ϵ=1 olmak üzere her δ>0 için x:={a+δ2,δQa+δ2,δI seçilirse 

|xa|<δ|f(x)f(a)|=|f(x)0|=f(x)=11=ϵ

koşulu sağlanır. Demek ki aQ olmak üzere f fonksiyonu a noktasında sürekli değil.    

 

II. Durum: aI  olsun.

ϵ=1 olmak üzere her δ>0 için x:=(1δ+1)a1δ+1Q  seçilirse 

|xa|<11δ+1<11δ=δ|f(x)f(a)|=|01|=11=ϵ

koşulu sağlanır. Demek ki aI olmak üzere f fonksiyonu a noktasında sürekli değil. 

 

O halde (ϵ>0)(δ>0)(xR)(|xa|<δ|f(x)f(a)|ϵ) önermesi doğrudur.

(11.5k puan) tarafından 
n=1δ+1 diyelim. nN+ ve (n>1δ olduğundan) 1n<δ olur.

x=nanQ olsun.

na1<na<na olduğu için a1n<x=nan<a elde edilir. Buradan da |xa|<1n<δ|f(x)f(a)|=1 olur.
20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,818 kullanıcı