a∈Q ve a∈I olmak üzere 2 durum inceleyeceğiz. (Neden?)
I. Durum: a∈Q olsun.
ϵ=1 olmak üzere her δ>0 için x:={a+δ√2,δ∈Qa+δ2,δ∈I seçilirse
|x−a|<δ∧|f(x)−f(a)|=|f(x)−0|=f(x)=1≥1=ϵ
koşulu sağlanır. Demek ki a∈Q olmak üzere f fonksiyonu a noktasında sürekli değil.
II. Durum: a∈I olsun.
ϵ=1 olmak üzere her δ>0 için x:=⌊(⌊1δ⌋+1)a⌋⌊1δ⌋+1∈Q seçilirse
|x−a|<1⌊1δ⌋+1<11δ=δ∧|f(x)−f(a)|=|0−1|=1≥1=ϵ
koşulu sağlanır. Demek ki a∈I olmak üzere f fonksiyonu a noktasında sürekli değil.
O halde (∃ϵ>0)(∀δ>0)(∃x∈R)(|x−a|<δ∧|f(x)−f(a)|≥ϵ) önermesi doğrudur.