Dirichlet Fonksiyonu

Question

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x\in\mathbb{Q}\\ 1 & , & x\notin\mathbb{Q}\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu için $a\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$(\exists \epsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in\mathbb{R})(|x-a|<\delta\wedge |f(x)-f(a)|\geq \epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$a\in\mathbb{Q}$  ve  $a\in\mathbb{I}$  olmak üzere $2$ durum inceleyeceğiz. (Neden?)

 

I. Durum: $a\in\mathbb{Q}$  olsun.

$\epsilon=1$ olmak üzere her $\delta>0$ için $x:=\left\{\begin{array}{ccc} a+\frac{\delta}{\sqrt{2}} & , &  \delta\in\mathbb{Q} \\ a+\frac{\delta}{2} & , & \delta\in\mathbb{I} \end{array}\right.$ seçilirse 

$$|x-a|<\delta \wedge |f(x)-f(a)|=|f(x)-0|=f(x)=1\geq 1=\epsilon$$

koşulu sağlanır. Demek ki $a\in\mathbb{Q}$ olmak üzere $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli değil.    

 

II. Durum: $a\in\mathbb{I}$  olsun.

$\epsilon=1$ olmak üzere her $\delta>0$ için $x:=\frac{\left\lfloor \left(\left\lfloor \frac{1}{\delta}\right\rfloor +1\right)a\right\rfloor}{\left\lfloor \frac{1}{\delta}\right\rfloor +1}\in\mathbb{Q}$  seçilirse 

$$|x-a|<\frac{1}{\left\lfloor \frac{1}{\delta}\right\rfloor +1}<\frac{1}{\frac{1}{\delta}}=\delta \wedge |f(x)-f(a)|=|0-1|=1\geq 1=\epsilon$$

koşulu sağlanır. Demek ki $a\in\mathbb{I}$ olmak üzere $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli değil. 

 

O halde $$(\exists \epsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in\mathbb{R})(|x-a|<\delta\wedge |f(x)-f(a)|\geq \epsilon)$$ önermesi doğrudur.

Comments

$n=\left\lfloor \dfrac{1}{\delta}\right\rfloor+1$ diyelim. $n\in\mathbb{N}^+$ ve $(n>\dfrac1\delta$ olduğundan$)$ $\dfrac{1}{n}<\delta$ olur.

$x=\dfrac{\lfloor na\rfloor}{n}\in\mathbb{Q}$ olsun.

$$na-1<\lfloor na\rfloor< na$$ olduğu için $$a-\dfrac{1}{n}<x=\dfrac{\lfloor na\rfloor}{n}<a$$ elde edilir. Buradan da $$|x-a|<\dfrac{1}{n}<\delta \wedge |f(x)-f(a)|=1$$ olur.