Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

$ y > 2x $

$f(x)= \frac1x + x $

$f^{-1}(x)=?$


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi

Fonksiyonun tanımı şöyle kabul edilirse çözülebilir:

$f=\{(x,y):y=\frac1x, y>2x\}\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

Doğan hocam yorumunuz için teşekkürler. Bu yazdığınız $f$ fonksiyonu örten midir? Değer kümesi tüm gerçel sayılar ise, fonksiyon yine örten olmaz ve ters fonksiyon bulunmaz. Bu tür sorulara itirazım, tanım ve değer kümelerinin açıkça verilmeyişidir. Çünkü bunlar ters fonksiyonun varlığını etkileyen faktörlerdir.  

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun olması için gerek ve yeter şart fonksiyonun bire bir ve örten olmasıdır. Bu meşhur teoremi biliyorsunuzdur. Buna göre, bir $f: A \to B $ fonksiyonun ters fonksiyonunun olması, $f$ fonksiyonun kuralından başka, $A$ ve $B$ kümeleriyle de ilgilidir. Şimdi, sizin sorunuzdaki $f(x)=\dfrac{1}{x}+x$ kuralıyla ifade edilen $f$ fonksiyonunun tanım ve değer kümeleri verilmediği için ters fonksiyon hakkında bir şey söylenemez. Daha açık bir ifadeyle, sorunuz eksiktir. 

Öte taraftan $y>2x$ eşitsizliği de bir anlam ifade etmiyor. Muhtemelen $y$ ile $x$ arasında $y=f(x)$ bağıntısı vardır. Sıklıkla kullanılan bir gösterimdir ama mevcut soruda bu eşitlik yok. $y=f(x)$ yazılmış olsaydı bile bu yazılış, sorudaki büyük eksikliği ortadan kaldırmıyor. Bu verilerle halen, $f$ nin tanım ve görüntü kümelerini bulamamaya devam ediyoruz.

Kafanıza göre tanım/değer kümeleri alın derseniz, $A = \left\{ \dfrac12 \right\}$ ve $B = \left\{ \dfrac52 \right\}$ alabilirim. tek noktadan oluşan bir fonksiyon $f= \left\{  \left(\dfrac12, \dfrac52 \right) \right\}$ olur. Ters fonksiyon $f^{-1}= \left\{  \left(\dfrac52, \dfrac12 \right) \right\}$ bulunur. Üstelik ne amaçla verildiğini bilemediğim $y>2x$ eşitsizliği de $x=\dfrac12, y=\dfrac52$ için sağlanıyor. $B$ kümesini iki elemanlı seçersek bu defa örtenlik şartı sağlanmadığından $f^{-1}$ ters fonksiyonu yoktur, deriz.

Problemin sunuluşundaki sorunları vurgulamak için bu açıklamaları yaptım. Bir problemin doğru olmadığını göstermek de bir çözümdür. Bu sebeple yorum yazmak yerine çözüm olarak yazıyorum. (Bahsettiğim kusurlar düzeltilerek soru sorulursa daha farklı cevaplar verme şansımız olur).

(1.4k puan) tarafından 
Tanım ve değer kümesini sorduğumda y > 2x yanıtını aldım

''Ne olursa olsun işlem yapıp sonuç bulunuz'' sorusu olmuş o halde. Bir arkadaşımıza iş başvurusunda bulunduğu bir dershanede mülakatta $$\int{\dfrac{x^2}{dx}} $$ sorusu sorulmuş. Adaylar da harıl harıl buna bir cevap üretmeye çalışıp işi kapmaya çalışmış. Her şeyi bulmaya çalışmamalıyız. Bu tür durumlarda ''$x$'i kim kaybettiyse o bulsun'' diyorum.

19,468 soru
21,189 cevap
71,133 yorum
27,318 kullanıcı