Biraz daha genel (ama lisans düzeyi) bir iddiayı ispatlayalım
Bir G grubu X ve Y uzayları üzerine (soldan) "etkisin" (etkiyor olsun)
(yani bir Φ:G×X→X dönüşümü (veya işlemi) şunları sağlasın:
∀g,h∈g ve ∀x∈X için Φ(g,Φ(h,x))=Φ(g∗h,x) (∗, G grubundaki işlem) olur.
∀x∈X için Φ(e,x)=x) (e, G grubunun birim (=etkisiz) elemanı)
Φ nin belli olduğu bir durumda, Φ(g,x) yerine, (Φ yi yazmayıp) kısaca g⋅x yazalım ve X bir G uzayıdır diyelim)
(Benzer şekilde, bir Ψ:G×Y→Y dönüşümü ile (aynı grup) G,Y üzerine de etkisin)
Şunu göstereceğiz:
f:X→Y, ∀g∈G ve ∀x∈X için f(g⋅x)=g⋅f(x) özelliğine sahip (f, G "ekivaryant= equivariant ", kısaca ekivaryant deriz) ve 1-1 ve örten ise
f−1:Y→X de ekivaryant olur.
İSPAT:
g∈G, y∈Y olsun.
(f ekivaryant olduğu için) f(g⋅f−1(y))=g⋅f(f−1(y))=g⋅y olur.
f(f−1(g⋅y))=g⋅y olur.
Bu ikisinden, f 1-1 olduğu için,
f−1(g⋅y)=g⋅f−1(y) ede ederiz.
Bu da, tam olarak gösterilmesi gereken eşitliktir.
Bu ispatta:
X=Tf (f nin tanım kümesi)⊆R
Y=Görf (f nin görüntü kümesi)⊆R
G=Z2={e,a} iki elemanlı grup (e birim eleman olacak şekilde, bunu grup yapan tek bir işlem vardır)
∀x∈R için, Φ(e,x)=x, Φ(a,x)=−x dönüşümü, R yi G uzayı yapar (bunu siz gösterin)
(f tek fonksiyon ise X ve Y de (aynı işlem ile) G uzayı olurlar)
Bu durumda, yaptığımız tanımlardan, şu kolayca görülür:
f tek fonksiyondur ⇔ X ve Y (yukarıdaki işlem ile) G uzayıdır ve f ekivaryanttır
Öyleyse, yukarıdaki teoremden, f tek fonksiyon, 1-1 ve örten ise f−1 de tek fonksiyondur.