Gerçek sayılarda tanımlı birebir ve örten $f$ fonksiyonu tek fonksiyon ise $f$ fonksiyonunun tersi de neden daima tektir?

Question

Örneğin f(x) = x^3 olarak varsayarsak tersi küpkök x'e eşit olur.Kökün içine eksili terim gelemiyor olması gerekmiyor mu?Dolayısıyla nasıl tek fonksiyon oluyor?

Comments

Kökün derecesi tek olduğu sürece negatif sayılarda reel değer alır. Yani sorun yok.

Tek fonksiyonun formel tanımıyla değil de geometrik düşününce açıkça görünüyor. Fonksiyonun tek olması demek orijine göre simetrik olması demek ve tersini almak da $x-y=0$ doğrusuna göre simetrisini almak demek. Bu doğru orijinden geçtiği için fonksiyonun tersi de tek olur.

(Bu bir kanıt değildir sadece sezgi kazandırmak için yazdım)

---

Çok teşekkür ederim.

Answer 1

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu bijektif (yani birebir ve örten) ve tek olsun. $f$ fonksiyonu bijektif olduğundan tersi vardır. Dolayısıyla $$f^{-1}(y)=x\Leftrightarrow y=f(x)$$ ilişkisi de doğrudur. Amacımız $f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun tek olduğunu göstermek. Bunun için

$$(\forall y\in\mathbb{R})(f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y))$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$y\in\mathbb{R}$ olsun. $f^{-1}(-y)=x$ diyelim ve $f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)$ eşitliğinin sağlandığını gösterelim.

$$\left.\begin{array}{rr} f^{-1}(-y)=x\Rightarrow -y=f(x)\Rightarrow y=-f(x) \\ \\ f, \text{ tek}\end{array}\right\}\Rightarrow y=f(-x)\Rightarrow -x=f^{-1}(y)\Rightarrow x=-f^{-1}(y)$$ olduğundan $$f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)$$ elde edilir. O halde $$f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu tektir.

Comments

Çok teşekkür ederim.

Answer 2

$f$ fonksiyonun grafiğine $G(f)$ adını verelim. Demek ki $$(x,y) \in G(f) \iff y = f(x).$$ Öte yandan $f$ fonksiyonunun tek fonksiyon olması $$(x,y) \in G(f) \iff (-x,-y)\in G(f)$$ demektir. Eğer $f$ birebir ve örtense, $f$'nin $f^{-1}$ olarak simgelenen "ters fonksiyonu" vardır ve şöyle tanımlanır: $$f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y.$$ Dolayısıyla $$(x,y)\in G(f) \iff (y,x)\in G(f^{-1})$$ olur. Şimdi merkezlenen ikinci ve üçüncü formülden istediğimiz çıkar:
$$(y,x)\in G(f^{-1}) \iff (x,y)\in G(f)\iff (-x,-y)\in G(f) \iff (-y,-x)\in G(f^{-1}),$$ yani $f^{-1}$ de bir tek fonksiyondur.

Comments

Çok teşekkürler.

Answer 3

Biraz daha genel (ama lisans düzeyi) bir iddiayı ispatlayalım

Bir $G$ grubu $X$ ve $Y$ uzayları üzerine (soldan) "etkisin" (etkiyor olsun) 

(yani bir $\Phi:G\times X\to X$ dönüşümü (veya işlemi) şunları sağlasın:

$\forall g,h\in g$ ve $\forall x\in X$ için $\Phi(g,\Phi(h,x))=\Phi(g*h,x)$ ($*,\ G$ grubundaki işlem) olur.
$\forall x\in X$ için $\Phi(e,x)=x)$ ($e,\ G$ grubunun birim (=etkisiz) elemanı)

$\Phi$ nin belli olduğu bir durumda, $\Phi(g,x)$ yerine, ($\Phi$ yi yazmayıp) kısaca $g\cdot x$ yazalım ve $X$ bir $G$ uzayıdır diyelim)

(Benzer şekilde, bir $\Psi:G\times Y\to Y$ dönüşümü ile (aynı grup)$\ G,Y$ üzerine de etkisin)

Şunu göstereceğiz:

$f:X\to Y$, $\forall g\in G$ ve $\forall  x\in X$ için $f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$ özelliğine sahip ($f,\ G$ "ekivaryant= equivariant ", kısaca ekivaryant deriz) ve 1-1 ve örten  ise

$f^{-1}:Y\to X$ de ekivaryant olur.

İSPAT:
$g\in G,\ y\in Y$ olsun.
($f$ ekivaryant olduğu için) $f(g\cdot f^{-1}(y))=g\cdot f(f^{-1}(y))=g\cdot y$ olur.
$f(f^{-1}(g\cdot y))=g\cdot y$ olur.
Bu ikisinden, $f$ 1-1 olduğu için,
$f^{-1}(g\cdot y)=g\cdot f^{-1}(y)$ ede ederiz.
Bu da, tam olarak gösterilmesi gereken eşitliktir.

Bu ispatta: 
$X=Tf\ (f$ nin tanım kümesi$)\subseteq \mathbb{R}$

$Y=\textrm{Gör}f\ (f$ nin görüntü kümesi$)\subseteq \mathbb{R}$
 $G=\mathbb{Z}_2=\{e,a\}$ iki elemanlı grup ($e$ birim eleman olacak şekilde, bunu grup yapan tek bir işlem vardır)
$\forall x\in\mathbb{R}$ için, $\Phi(e,x)=x,\ \Phi(a,x)=-x$ dönüşümü, $\mathbb{R}$ yi $G$ uzayı yapar (bunu siz gösterin)

($f$ tek fonksiyon ise $X$ ve $Y$ de (aynı işlem ile) $G$ uzayı olurlar)
Bu durumda, yaptığımız tanımlardan, şu kolayca görülür:
$f$ tek fonksiyondur $\Leftrightarrow\ X$ ve $Y$ (yukarıdaki işlem ile)  $G$ uzayıdır ve $f$ ekivaryanttır

Öyleyse, yukarıdaki teoremden, $f$ tek fonksiyon, 1-1 ve örten ise $f^{-1}$ de tek fonksiyondur.