Z(G) c(a) yı kapsar mı ve ya ikiside birbirini mi kapsar?

Question

Grubun merkezleyicisi ve a elemanın merkezleyicisi arasında nasıl bir ilişki olur birbirlerini kapsarlar mı? Kapsarlarsa neden, çünkü ben bu grupların elemanlarını nerden aldığımızı anlamadım.. Z(g) eğer c(a)yı kapsıyorsa c(a)da her eleman değişmeli olmadığından  nasıl mümkün olabilir?

Comments

Bir grubun merkezi ne demek, bir elemanın merkezleyicisi ne demek? Öncelikle bu kelimelerin anlamlarını bildiğinden emin olalım. Bunları yazabilir misin?

---

Hocam tanımları kafamı karıştırdı bağlantıyı görmeme engel oldu bende sezgisel olarak şöyle anladım; grubun merkezi; bir G grubunun içerisinden seçilen ve hepsinin birbirleriyle değişmeli olduğu, G nin alt gruptur, bir elemanın merkrzleyiciside kafamıza göre seçeceğimiz bir sabitin mi yoksa belirli sabitin mi olduğunu anlamadığım bir sabit sayının diğer tüm elemanlarla ayrı ayrı değişmeli olduğu 2li bağlantılar topluluğunun toplamı olan küme. Ama şimdi bu her c(a) lar aynı zamanda zg nin elemanı olur mu olmaz mı yoksa zg ye ait olmayıp dışardan herhangi bir elemanla değişmeli olup bu değişmeli olduğu elemanda zg nin elemanlarıyla değişmeli olmadığı durum olabilir mi yani zgnin elemanı olmayadabilir  mi c(a lar

---

Yazdığın paragraftan benim çıkardığım sonuç şu: Soruyu unut. Sen soruyu çözmeye çalışıyorsun. Soruyu çözmeye çalışma. Soruyu anlamaya çalış. Sorunun içinde yer alan kavramları anladığın zaman zaten cevap kendiliğinden gelecek.

Öncelikle merkezden başlayalım. Notların ya da kitabın yanındaysa merkezin tanımını oradan bakarak yazabilir misin? Sezgisel olarak/senin anladığın şekilde değil de, orada yazan şekilde. Sonra o tanım üzerinden sezgisel bir şey geliştirmeye çalışalım :)

---

Merkez tanımı böyle hocam

---

Görme engelli/görme yeteneği zayıf arkadaşlar için text halinde yazalım:

$$Z(G) := \{ x \in G \text{ öyle ki her } g \in G \text{ için } xg = gx \text{ eşitliği sağlanır.} \}$$

Yani, bir elemanın bir grubun merkezinde olması demek o elemanın o gruptaki her elemanla değişme özelliği olması demek.

Bu altgrubun içindeki elemanların hepsi birbiriyle değişmeli, evet. Bu doğru. Bu senin sezgisel olarak anladığın. Ama $Z(G)$ bundan daha seçkin bir özellik sağlıyor. Bu altgrubun içindeki elemanlar gruptaki her elemanla değişebiliyorlar.

Burada mutabık mıyız?

---

Evet hocam, çok faydalı bilgi oldu sağolun. Ben sorularımı sonraya sorayım devam edelim 

---

Her elemanın merkezleyicisi var mıdır hocam, ozaman tüm grup elemanları değişmeli olur ve zg grubun kendisi olur 

---

$D_4$ Dihedral grubunu gözönüne alalım, bu grubun merkez ve de $C(a)$ altgruplarını bulmaya çalışalım.

Ya da; $Q_8$ Kuaterniyonlar grubunu gözönüne alalım, bu grubun merkez ve de $C(i)$ altgruplarını bulmaya çalışalım.

Seçtiğiniz örnek; değişmeli olmayan bir grup örneği olsun.