Question

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x>b-\frac{b-a}{2n}\right)\Rightarrow x\geq b$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$\left[(\forall n\in\mathbb{N})\left(x>b-\frac{b-a}{2n}\right)\Rightarrow x\geq b\right]\equiv \left[x<b\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\leq b-\frac{b-a}{2n}\right)\right]$$

olduğundan $$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x>b-\frac{b-a}{2n}\right)\Rightarrow x\geq b$$ önermesi yerine  

$$x<b\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\leq b-\frac{b-a}{2n}\right)$$ önermesini kanıtlayabiliriz. 

$x<b$ olsun.

$$x<b$$

$$\Rightarrow$$

$$ b-x>0$$

$$\overset{a<b}{\Rightarrow}$$

$$ \frac{2(b-x)}{b-a}>0$$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{b-a}{2(b-x)}>0$$

$$\overset{\text{Arşimet Özelliği}}\Rightarrow$$

$$(\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac{b-a}{2(b-x)}\leq n\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac{b-a}{2n}\leq b-x\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\leq b-\frac{b-a}{2n}\right).$$

Answer 2

İlk olarak $x=b$ iken eşitsizliğin her $n$ pozitif tamsayısı için doğru olduğunu gösterelim.

Verilen eşitsizlikte $x=b$ yazarsak $b > b - \dfrac{b-a}{2n}$ olur. Bu eşitsizlik de $\dfrac{b-a}{2n}>0$ olmasına denktir ki $b>a$ oluşundan dolayı her $n$ için sağlandığı açıktır.

Şimdi $x$ değerini $b$ den daha küçük seçemeyeceğimizi kanıtlayalım. Aksini kabul edelim ve bir $\epsilon > 0$ sabit sayısı için $x=b-\epsilon $ olsun. Bunu eşitsizlikte yerine yazalım:

$$ b-\epsilon > b - \dfrac{b-a}{2n} $$

biçimine dönüşür. Bu ise $ n < \dfrac{b-a}{2\epsilon} $ eşitsizliğine denktir. $\epsilon > 0$ sayısı ne kadar küçük seçilirse seçilsin, $\dfrac{b-a}{2\epsilon} $ sabit olduğundan bu $ n < \dfrac{b-a}{2\epsilon} $ eşitsizliğinin doğru olmasını bozan yeterince büyük bir $n$ tamsayısı bulmak mümkündür. Sonuç olarak $x$ değeri $b$ den daha küçük seçilemez. İspat tamamlanmıştır.