$\mathcal{A}=\left\{\left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$ diyelim.
$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(b-\frac{b-a}{2n}<b\right)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall n\in\mathbb{N}) \left(\left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right] \subseteq (a,b)\right)$$
$$\Rightarrow$$
$$\cup_{n\in\mathbb{N}} \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]=\bigcup\mathcal{A}\subseteq (a,b)\ldots (1)$$
Şimdi de
$$(a,b) \subseteq \bigcup\mathcal{A}$$ olduğunu gösterelim. Bunun için $$x\in (a,b)\Rightarrow x\in \bigcup\mathcal{A}$$ önermesinin doğru olduğunu veya bununla aynı anlama gelen $$x\notin \bigcup \mathcal{A}\Rightarrow x\notin (a,b)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$x\notin \bigcup \mathcal{A}$ olsun.
$$x\notin \bigcup \mathcal{A}$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x\notin \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]\right)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x\leq a \vee b-\frac{b-a}{2n}\leq x\right)$$
$$\overset{?_1}{\Rightarrow}$$
$$x\leq a \vee \underset{b\leq x}{\underbrace{(\forall n\in\mathbb{N})\left(b-\frac{b-a}{2n}\leq x\right)}}$$
$$\overset{?_2}{\Rightarrow}$$
$$x\leq a \vee b\leq x$$
$$\Rightarrow$$
$$x\in (-\infty, a] \vee x\in [b,\infty)$$
$$\Rightarrow$$
$$x\in (-\infty, a]\cup [b,\infty)$$
$$\Rightarrow$$
$$x\notin (a,b).$$