Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
10.6k kez görüntülendi

Analitik Geometride köşelerinin koordinatları $\text{A}(x_1,y_1)$$\text{B}(x_2,y_2)$, $\text{C}(x_3,y_3)$, olan ABC üçgensel bölgesinin alanı

$\text{Alan}(ABC)=\dfrac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-\left(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1\right)\right|$ ile bulunur teoremini kanıtlayınız.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (161 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 10.6k kez görüntülendi
Siz bu teoremi nasıl ispatlamaya calıstınız hangi yollar denediniz denemelerinizi ve açıklamalarınızı da yazarsanız daha çok yardım alabilirsiniz.

Pisagor matematik evi kanalinda mustafa yagcinin yaptigi bir ispatin videosu var.

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şeklin çizimini size bırakıyorum. Aslında ben çizimi yapabilsem daha iyi olurdu fakat ben çizim programlarını kullanmayı bilmiyorum.

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde, köşeleri $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ olan dar açılı (dik ya da geniş açılı olsa da fark etmez) bir üçgen çizelim. $A,B,C$ noktalarından $x-$ eksenine inilen dikmelerin ayakları sırası ile $A_1,B_1,C_1$ noktaları ve $y-$eksenine inilen dikmelerin ayakları da sırası ile $A_2,B_2,C_2$ olsun. 

Eğer $Alan(ABC)=S$ denirse;

$S=Alan(AA_1C_1C)+Alan(CC_1B_1B)-Alan(AA_1B_1B)$ olacaktır. Şimdi bu alan değerlerini koordinatlar cinsinden yazalım.

$S=\frac{(y_1+y_3)(x_3-x_1)}{2}+\frac{(y_3+y_2)(x_2-x_3)}{2}-\frac{(y_1+y_2)(x_2-x_1)}{2}$

$S=\frac{y_1x_3-y_1x_1+y_3x_3-y_3x_1+y_3x_2-y_3x_3+y_2x_2-y_2x_3-y_1x_2+y_1x_1-y_2x_2+y_2x_1}{2}$

$S=\frac{y_1x_3-y_3x_1+y_3x_2-y_2x_3-y_1x_2+y_2x_1}{2}$

$S=\frac{y_1x_3+y_3x_2+y_2x_1-(y_3x_1+y_2x_3+y_1x_2)}{2}$ olur. Elbette ki alan değeri  neğatif olamayacaktır.Dolayısıyla;

$2S=|y_1x_3+y_3x_2+y_2x_1-(y_3x_1+y_2x_3+y_1x_2|$ olur.


(19.1k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Üçgenin bir köşesini orijine öteleyerek de bir alan formülü verebiliriz. Örneğin $A$ noktasını orijine ötelersek üçgenin yeni köşe noktaları $$A'=(0,0)$$,   $$B'=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(a,b)$$   $$C'=(x_3-x_1,y_3-y_1)=(c,d)$$ olur. Bu durumda üçgenin $S$ alanı  $$S=\dfrac{1}{2}|ad-bc|$$ ile verilebilir. Aslında bu da $B'$ ve $C'$  vektörlerinin vektörel çarpımı olarak $$S=\dfrac{1}{2}\vec{B'}X\vec{C'}$$  ifade edilebilir.Açıklama ve ilgili soru

Bir köşeyi orijine taşıma bazı geometri problemlerinin çözülmesinde kolaylık sağlayabilir.

(1.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$Alan(ABC)=\dfrac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{matrix} \right| $$  şeklinde ifade edersek bu formül akılda daha çok kalır. Bu determinant hesabıyla herhangi bir konveks çokgenin hatta konkav çokgenin alanı bulunabilir. Ancak konkav çokgende noktaların sırasına dikkat etmek gerekir; noktaların farklı sıralanışları farklı alanlar verebilir.

(1.9k puan) tarafından 

Noktaları, saatin tersi yönde (yukarıdan aşağı) yazarsak determinant pozitif çıkar.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$Alan(n-gen)=\dfrac{1}{2}( \left| \begin{matrix} x_1& x_2\\ y_1& y_2\\ \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} x_2& x_3\\ y_2& y_3\\\end{matrix} \right|+...+\left| \begin{matrix} x_n& x_1\\ y_n& y_1\\ \end{matrix} \right|)$$  şeklinde bir genelleme verilebilir. Kanıtta üçgen için verilen formülü kullanmak yeterli sanırım; Sarrus açılımında bazı çarpanlar birbirini götürünce yukarıdaki eşitliğin kalması lazım. 

(1.9k puan) tarafından 
18,741 soru
20,913 cevap
68,607 yorum
21,131 kullanıcı