İki farklı dizi içeren bir dizi

Question

Dört pozitif tam sayıdan oluşan bir dizinin ilk üç terimi aritmetik, son üç terimi geometrik bir dizi oluşturmaktadır. Son terim ilk terimden 48 fazla ise diziyi bulunuz. 

a1 ve r değişkenlerini kullanarak çözmeye çalıştım, net bir şeye ulaşamadım. Yardımcı olursanız sevinirim.

Comments

Siteye hosgeldiniz.

Ilk olarak soyle bir uyarida bulunayim: `a1 ve r değişkenlerini kullanarak çözmeye çalıştım, net bir şeye ulaşamadım. Yardımcı olursanız sevinirim.' demek yerine islemlerinizi yazmanizi bekliyoruz. Lutfen sorulariniza yaptiklarinizi acikcana ekleyiniz.


Son uc terimi $$a  \ \ \ \ \ ar=a+(r-1)a \ \ \ \ \ ar^2$$ olarak yazabilirsin. Buradan ilkinin ne olmasi gerektigi anlasilir. 

Eger bu ipucuna ragmen takilirsaniz, lutfen acikcana yaptiklarinizi belirterek sorunuz.

---

Bi dahakine dediğiniz gibi yapıcam teşekkür ederim, hoş buldum. Doğru cevabı bulamadım. Verdiğiniz bilgiye göre yaptığım işlem şöyle: 

---

a-(r-1)a      a       a+(r-1)a      ar2

2a - ar + 48 = ar2

a(r2 + r - 2) = 48  = a(r+2)(r-1)

Soruda terimler tam sayı dediği için a ve r yi sağlayan değerler a=12 r=2   

dizi : 0 12 24 48 şeklinde buldum nerde hata yapıyorum? 

---

$0$ pozitif degil ki! Baska cozumleri yok mu? Bence onlara da bakmalisin. 

$r=1$ olmaz.
$r=2$ olmuyormus gordugun uzere.
$r=3$ de olmuyor.
$r=4$ icin bir cozum geliyor. Bu bir kontrol et
$r=5,6,7,\ldots$ icin olmuyor

Bir diger soru su $r=0$ ya da negatif olamaz mi?

---

ya da rasyonel?      

---

Cevaba göre a=75 r=6/5 çıkıyor. Rasyonel olma ihtimalini düşünsem bile 75 e 6/5 şeklinde bir sürü birbirine bağlı değer çıkar. Deneme haricinde hangi yöntem kullanabilirim? 

---

Aslinda sadece bes deger icin deniyorsun. $1,2,4,8,16$. Hatta iki deger.

Answer 1

Verilen koşullara uyan bu dört terim :$a-r,a,a+r,\frac{(a+r)^2}{a}$ şeklindedir.

$\frac{(a+r)^2}{a}-(a-r)=48$ olduğundan 

$3ar+r^2=48.a\Rightarrow 3r+\frac{r^2}{a}=48$ olarak düşünebiliriz. Dizinin tüm terimleri pozitif tamsayı olduğundan $a\in Z^+$ ve $a-r,a+r\in Z^+$ olmalıdır. Yani $a>r,\quad a|r^2$ olmalıdır. Bu koşullarda $3r+\frac{r^2}{a}=48$ eşitliği $r=15,a=75$ için sağlanır. Dizinin terimleri $60,75,90,108$ olur.

Comments

Mantığı anladım hocam teşekkür ediyorum. 

Answer 2

(1) Ilk olarak son uc tanesi geometrik oldugundan bunlari $$a \ \ \ \ \ a(t+1) \ \ \ \ \ a(t+1)^2$$ olarak yazalim. Ikincisi ve ucuncusu arasindaki fark $at$ oldugundan ve ilk ucu aritmetik oldugundan bu dort sayi $$a(1-t) \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ a(t+1) \ \ \ \ \ a(t+1)^2$$ olur.

(2) Bunlarin hepsi pozitif tam sayi olduklarindan $$a\in \mathbb Z^+ \ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \ -1<t<1$$ olmali. 

(3) Eger $t$ rasyonel olmazsa ikinci terih haric hepsi rasyonel olmaz. Dolayisiyla tam sayi da olmaz. Demek ki $t$ rasyonel olmali. Dolayisiyla aralarinda asal oyle $c,d$ tam sayilari vardir ki $$t=\frac{c}{d}$$ olarak yazilabilir. 

(4) Bize verilen diger bir ek bilgi ise $$a(t+1)^2-a(1-t)=48 \ \ \ \ \text { yani } \ \ \ \ \ a\cdot t \cdot (t+3)=48$$ oldugu. $t=c/d$ yazarsak $$a\cdot c\cdot (c+3d)=48d^2$$ saglanir.  $d$ hem $c$ hem de $c+3d$ ile aralarinda asal oldugundan $$d^2 \mid a$$  saglanir. (Sozel olarak soylersem $d^2$ tam sayisi $a$ tam sayisini tam boler). Dolayisiyla $$\frac{a}{d^2}$$ bir pozitif tam sayidir ve $$48=\frac{a}{d^2}\cdot c\cdot (c+3d)$$ olarak tam carpanlara ayrilir. Demek ki pozitif olarak $$c(c+3d) \mid 48$$ saglanir.

$c=1$ ise $d=1$ ya da $d=5$ olabilir. ($c/d=1$ olamayacagindan $d=5$ olabilir).

$c=2$ ise $d=2$ olabilir ama aralarinda asallik geregi bu saglanmaz.

$c$ tam sayisi $48$in diger pozitif tam bolenleri ise bariz olarak cozum gelmez.

Negatif taraftada sadece bu cozumunlerin eksililerini elde ederiz fakat $c/d$ orani degismez. 

(5) Demek ki sadece $$t=\frac15$$ bize istenildigi gibi bir dizi verir. Bu durumda $a=75$ olur ve istenen dizi $$60 \ \ \ \ 75 \ \ \ 90 \ \ \ 108$$ olur.

Comments

Teşekkür ederim 

---

Sercan hocam,ilk satırdaki "aritmetik", geometrik  olmalı ve üçüncü satırdaki  "ikinci ve üçüncü arasındaki fark at"  yerine  birinci ile ikinci arasındaki fark at  olmalı diye düşünüyorum. Elinize sağlık.

---

Ilk dediginizi duzenledim hocam. Dortlu siralamaya gore iki ve uc onlar, yukaridaki bir aslinda iki:)

---

Goruldugu gibi sag tarafa takilip kalinca isleri zorlastirmisiz. Bir de ugrasinca cikacagini gorunce fikir degisikligi de akla gelmeyebiliyor. 

Neyse yine de  (/isi uzatsa da)  birkac teknik bilgili cevap olmus oldu bu da.