Question

$f$ fonksiyonunun açık olduğunu gösteriniz.

Comments

İpucu: $(X,\tau),(Y,\sigma)$ topolojik uzaylar ve $f\in Y^X$ olmak üzere $$f, \text{ bijektif}\Rightarrow (f,\text{ açık}\Leftrightarrow f^{-1}, \text{ sürekli})$$

Answer 1

$$f(x,y):=\left(\frac{b\cdot x}{a},\frac{b\cdot y}{a}\right)$$ kuralı ile verilen $$f:X\rightarrow Y$$ fonksiyonu bijektif olduğundan tersi vardır ve tersi (bulması kolay) $$f^{-1}(x,y):=\left(\frac{a\cdot x}{b},\frac{a\cdot y}{b}\right)$$ kuralı ile verilen $$f^{-1}:Y\rightarrow X$$ fonksiyonudur. Bu fonksiyonun sürekli olduğunu göstermek te kolay. Buradaki linkte bulunana benzer şekilde kolayca gösterilebilir. O halde yorum kısmındaki teorem uyarınca $f$ fonksiyonu açık fonksiyondur. Bu linklerdeki  (I (bir) ve II (iki)) bilgiler de göz önünde bulundurulduğunda $f$ fonksiyonunun bir homeomorfizma olduğu sonucuna varılır.