$f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili linkte bulunan $f(x,y)=\left(\frac{b \cdot x}{a},\frac{b \cdot y}{a}\right)$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Ilgili soruda $a,b$ pozitif verilmisti. Bu soruda sadece $a,b\ne 0$ oldugunu kabul edelim. $a=0$ olmaz, $b=0$ ise de sabit fonksiyon olarak fonksiyon surekli olur.


$(u,v) \in \mathbb R^2$ olsun.

Verilen $\epsilon>0$ icin $\delta=\frac{|a|}{|b|}\epsilon>0$ secersek

$$\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}<\delta$$ saglandiginda $$|f(x,y)-f(u,v)|=\frac{|b|}{|a|}\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}<\frac {|b|}{|a|}\delta=\epsilon$$ saglanir.

Dolayisiyla $f$ fonksiyonu ($\mathbb R^2$ icerisindeki herhangi bir!) $(u,v)$ noktasinda surekli olur. Dolayisiyla (ilgili soruda verilen) $X$'e kisitlanisi da surekli olur. Goruntuyu de $f(X)=Y$ olarak kisitlayabiliriz.

Comments

$5.$ ve $7.$ satırlarda bir problem var mı?

---

Evet, $v$ yerine $u$ yazmisim. Lakin gordugun problemi direkt deseydin daha kolay gorurdum `typo' hatasini... :)

---

$5.$ ve $7.$ satırlarda hala bir problem var mı? :-)

---

Su an?          

---

That's it my friend.