Bijektif Fonksiyon

0 beğenilme 0 beğenilmeme
356 kez görüntülendi

$a,b\in\mathbb{R}^+,$  $X=\{(x,y)|x^2+y^2=a^2\}\subseteq\mathbb{R}^2$  ve  $Y=\{(x,y)|x^2+y^2=b^2\}\subseteq\mathbb{R}^2$  olmak üzere $$f(x,y):=\left(\frac{b\cdot x}{a},\frac{b\cdot y}{a}\right)$$ kuralı ile verilen $$f:X\rightarrow Y$$ fonksiyonunun bijektif olduğunu gösteriniz.

7, Haziran, 2018 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,442 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ortenlik:

$(x,y) \in Y$ ise $$(ax/b)^2+(ay/b)^2=a^2$$ saglanir ve $$f(ax/b,yx/b)=(x,y)$$ de saglandigindan $f$ ortendir. 

Birebirlik:

$(x,y),\ (u,v) \in X$  olmak uzere $$f(x,y)=f(u,v)$$ ise $$(bx/a,by/a)=(bu/a,bv/a)$$ saglanir; yani $(x,y)=(u,v)$ saglanir. Dolayisiyla $f$ birebirdir. 

Genel olarak:

Her cemberi bijectif bir sekilde merkezi orijin olacak sekilde oteleyebilecegimizden genel olarak iki cemberin bijektif olmasi gerektigini cikarabiliriz.

7, Haziran, 2018 Sercan (23,968 puan) tarafından  cevaplandı

Hatta daha geneli iki çemberin homeomorfik (topolojik olarak eş) olduğunu da söyleyebiliriz.

Amacım, yanıtların devamında farklı sorular sorarak en son olarak @alpercay'ın yazdığını söylemekti.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce birebir olduğunu gösterelim:

$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X$  ve  $(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2)$ olsun.

$$(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$x_1\neq x_2 \ \vee \ y_1\neq y_2$$

$$\Rightarrow$$

$$(x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1=y_2)\vee (x_1=x_2 \ \wedge \ y_1\neq y_2)\vee (x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1\neq y_2)$$

$\textbf{I. Durum:}$  $x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1=y_2$ olsun.

$$x_1\neq x_2 \ \wedge \ y_1=y_2$$

$$\Rightarrow$$

$$ \frac{b\cdot x_1}{a}\neq \frac{b\cdot x_2}{a} \ \wedge \ \frac{b\cdot y_1}{a}=\frac{b\cdot y_2}{a}$$

$$\Rightarrow$$

$$ \left(\frac{b\cdot x_1}{a},\frac{b\cdot y_1}{a}\right) \neq \left(\frac{b\cdot x_2}{a}, \frac{b\cdot y_2}{a}\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$f(x_1,y_1)\neq f(x_2,y_2).$$

$\textbf{II.}$  ve  $\textbf{III.}$  durum benzer şekilde gösterilir. O halde $f$ fonksiyonu birebirdir.

Şimdi de örten olduğunu gösterelim:

$$(\forall (x,y)\in Y)(\exists (u,v)\in X)(f(u,v)=(x,y))$$ önermesinin doğru olduğunu gösterirsek işimiz biter.

Her  $(x,y)\in Y$  için $$(u,v):=\left(\frac{a\cdot x}{b},\frac{a\cdot y}{b}\right)$$ alınırsa $$f(u,v)= \left(\frac{b\cdot u}{a},\frac{b\cdot v}{a}\right)=(x,y)$$ koşulu sağlanır. O halde $$(\forall (x,y)\in Y)(\exists (u,v)\in X)(f(x,y)=(u,v))$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu örtendir.


7, Haziran, 2018 murad.ozkoc (9,442 puan) tarafından  cevaplandı
31, Ekim, 2018 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
$f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.
$f$ fonksiyonunun açık olduğunu gösteriniz.
...