$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli ise $f$ fonksiyonunun sınırlı olduğunu gösteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
54 kez görüntülendi

Heine-Borel teoremini kullanmadan ispatlayınız.

9, Ağustos, 2016 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (7,950 puan) tarafından  soruldu

kapalı aralıkta sureklı fonksıyonların ,mutlak mın ve mutlak maksları vardır, dolayısıyla sureklı fonksıyon tanım aralıgında bu mutlak maks ve mın degerini alır, Mutlak maks :$f(x_j)$   ve mutlak min :$f(x_i)$  olsun.


$\forall x \quad a\le x \le b\quad ve \quad f(x_i)\le f(x)\le f(x_j)$   olur , bu da bu fonksiyonun sınırlı olmasını ispatlar.

Ek:

Tanım(extrem değer teoremi):

$f$, kapalı bir $[a,b]$ aralığının her noktasında sürekli ise, bir mutlak maximum değer $M$'ye ve 

bir minimum değeri $m$'ye $[a,b]$ içinde erişir. Yani,$[a,b]$'da  ,$f(x_1)=m$   ve   $f(x_2)=M$  olacak şekilde,

$x_1,x_2$  sayıları vardır ve  $[a,b]$'daki diğer her bir $x$ için $m\le f(x)\le M$

Bu özelliği de bilmediğimizi varsayalım. Süreklilik tanımını kullanarak ispatlamaya çalışalım.

Soyut matematık tanımlarını sanırım  :)  onlara tam vakıf olamıyorum,$ (p)(w)(q)(r)\Rightarrow u$  onermelerınde parantezlerin işlevleri tam  olarak ne oluyor "$(p)\wedge(w)\wedge(q)\wedge(r)\Rightarrow u$" gibi sanırım, bu sizin yaptıgınız önermerimsi tanımları calısmak için  güzel bir kaynak önerebilir misiniz?


Mesela buradakı tanımlar    http://matkafasi.com/21828/duzgun-sureklilik-ii?show=21828#q21828

Bu tanımlamaları tamamen anlayıp revize edecek kadar ogrenmek ısterim.

...