$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli ise $f$ fonksiyonunun sınırlı olduğunu gösteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
66 kez görüntülendi

Heine-Borel teoremini kullanmadan ispatlayınız.

9, Ağustos, 2016 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,040 puan) tarafından  soruldu

kapalı aralıkta sureklı fonksıyonların ,mutlak mın ve mutlak maksları vardır, dolayısıyla sureklı fonksıyon tanım aralıgında bu mutlak maks ve mın degerini alır, Mutlak maks :$f(x_j)$   ve mutlak min :$f(x_i)$  olsun.


$\forall x \quad a\le x \le b\quad ve \quad f(x_i)\le f(x)\le f(x_j)$   olur , bu da bu fonksiyonun sınırlı olmasını ispatlar.

Ek:

Tanım(extrem değer teoremi):

$f$, kapalı bir $[a,b]$ aralığının her noktasında sürekli ise, bir mutlak maximum değer $M$'ye ve 

bir minimum değeri $m$'ye $[a,b]$ içinde erişir. Yani,$[a,b]$'da  ,$f(x_1)=m$   ve   $f(x_2)=M$  olacak şekilde,

$x_1,x_2$  sayıları vardır ve  $[a,b]$'daki diğer her bir $x$ için $m\le f(x)\le M$

Bu özelliği de bilmediğimizi varsayalım. Süreklilik tanımını kullanarak ispatlamaya çalışalım.

...