Denklemlerin kökleri $x_1,x_2$ ve $x_1,x_3$ ve hepsi sıfırdan farklı olsun. $x_1$ ortak kök olduğundan $$x_1^2+\dfrac{b_1}{a_1}x_1+\dfrac{c_1}{a_1}=x_1^2+\dfrac{b_2}{a_2}x_1+\dfrac{c_2}{a_2}$$
$$x_1=\dfrac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$ olur. İki denklem için kökler çarpımını kullanarak $x_2x_3=\dfrac{c_1c_2}{a_1a_2x_1^2}$ yazalım.$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{-b_1}{c_1}$ ve $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{-b_2}{c_2}$ eşitliklerini çıkartırsak $$\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_3-x_2}{x_2x_3}.....(1)$$ elde olunur. Benzer olarak $$x_1+x_2=\dfrac{-b_1}{a_1}$$ ve $$x_1+x_3=\dfrac{-b_2}{a_2}$$ eşitliklerini çıkartarak $$x_3-x_2=\dfrac{b_1a_2-b_2a_1}{a_2a_1}.....(2)$$ olur. (1) ve (2) eşitlikleri birbirine bölünüp gerekli yerine koymalar yapılarak $$(a_1c_2-a_2c_1)^2=(b_1c_2-b_2c_1)(a_1b_2-a_2b_1)$$ bulunur. Sonucu matris formunda $$\left|\begin{matrix} a_1& c_1\\a_2& c_2\end{matrix}\right|^2=\left|\begin {matrix} a_1& b_1\\a_2& b_2\end{matrix}\right| \left|\begin {matrix}b_1& c_1\\ b_2& c_2\end{matrix}\right|$$ şeklinde de ifade edebiliriz.
$x_1$ in paydası sıfır olursa yani $a_1b_2=a_2b_1$ ise paraboller birbirini kesmezler (birbirine paralel olurlar; çünkü aynı apsisli noktalardaki teğetleri birbirine paraleldir. Bunu görmek için türev almak yeterlidir). Bu durumda ortak kökten bahsedilemez.