Ortak kökleri olan denklemler

Question

$a \ne 6$ olmak üzere $$x^2+(a-2)x-6=0 \ \ \ \ \ \ \text{ ve } \ \ \  \ \ \ x^2+4x-a=0 $$ denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre $a$ kaçtır?

Üst tarafı - ile çarpıp taraf tarafa topladım 

-x²-(a-2)x+6=0

x²+4x-a=0 

x²ler gider geriye -(a-2)x+4x+6-a=0 

xi parantez dağıttım

-ax-2x+4x+6-a=0        -ax+2x+6-a=0

(-a+2)x=-6+a oldu gerisi yok

Comments

Yonteminizi de anlatin lutfen.

---

Üst tarafı - ile çarpıp taraf tarafa topladım 

-x²-(a-2)x+6=0

x²+4x-a=0 

x²ler gider geriye -(a-2)x+4x+6-a=0 

xi parantez dağıttım

-ax-2x+4x+6-a=0        -ax+2x+6-a=0

(-a+2)x=-6+a oldu gerisi yok

---

Çıkmıyor cevap

---

Buradan buldugunuz x =(-6+a)/(2-a) degeri ortak kok olup denklemlerden birinde yerine yazin.

---

Bu arada ortak koku yanlis bulmusunuz.   x=-1 olmali.

Answer 1

`Denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre' cumlesinden denklemlerin en az bir kokunun var oldugunu ve ortak oldugunu anliyoruz.

Bu ortak koke $x_0$ diyelim. Bu durumda $$x_0^2+(a-2)x_0-6=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x_0^2+4x_0-a=0$$ saglanir. Esitliklerin taraf tarafa farkini alirsak $$0=(x_0^2+(a-2)x_0-6)-(x_0^2+4x_0-a)=(a-6)x+(a-6)$$ yani $$0=(x_0+1)(a-6)$$ saglanir. 

$x_0$ ve $a$ gercel sayilar oldugundan $x_0+1$ ve $a-6$ da gercel sayi olur. Ayrica carpimlari sifir oldugundan en az birinin carpimi sifir olur. Yani $$x_0+1=0 \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ a-6=0$$ saglanir, bu da $$x_0=-1 \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ a=6$$ saglanir demek.

$a=6$ dogru olmadigindan dolayi, mantik gerekliligi ile, $$x_0=-1$$ olmali.  Yani $-1$ degeri her iki denklemi de saglayan bir deger. Bu degeri ilk denkleme yazarsak $$0=(-1)^2+(a-2)\cdot (-1)-6=-a-3$$ oldugunu yani $$a=-3$$ oldugunu goruruz.

Bu sekilde ilk denklemin kinci kokunun $6$ ve ikinci denklemin ikinci kokunun $-3$ oldugunu goruruz. 

Ayrica $a=6$ saglandiginda iki denklemin de $$x^2+4x-6=0$$ denklemine donustugunu ve ortak olarak $$-2\pm\sqrt{10}$$ koklerine sahip oldugunu gorebiliriz.

Comments

Bununla ilgili