Denklemlerin kökleri x1,x2 ve x1,x3 ve hepsi sıfırdan farklı olsun. x1 ortak kök olduğundan x21+b1a1x1+c1a1=x21+b2a2x1+c2a2
x1=a1c2−a2c1a1b2−a2b1 olur. İki denklem için kökler çarpımını kullanarak x2x3=c1c2a1a2x21 yazalım.1x1+1x2=−b1c1 ve 1x1+1x3=−b2c2 eşitliklerini çıkartırsak 1x2−1x3=x3−x2x2x3.....(1) elde olunur. Benzer olarak x1+x2=−b1a1 ve x1+x3=−b2a2 eşitliklerini çıkartarak x3−x2=b1a2−b2a1a2a1.....(2) olur. (1) ve (2) eşitlikleri birbirine bölünüp gerekli yerine koymalar yapılarak (a1c2−a2c1)2=(b1c2−b2c1)(a1b2−a2b1) bulunur. Sonucu matris formunda |a1c1a2c2|2=|a1b1a2b2||b1c1b2c2| şeklinde de ifade edebiliriz.
x1 in paydası sıfır olursa yani a1b2=a2b1 ise paraboller birbirini kesmezler (birbirine paralel olurlar; çünkü aynı apsisli noktalardaki teğetleri birbirine paraleldir. Bunu görmek için türev almak yeterlidir). Bu durumda ortak kökten bahsedilemez.