Ortak Köklü İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Katsayı Bağıntısı

Question

$a_2x^2+b_2x+c_2=0$   ve $a_1x^2+b_1x+c_1=0$  denklemlerinin ortak kökleri varsa katsayıları arasında bir bağıntı bulunuz.

İlgili soruyu genellemek istedim.

Answer 1

Denklemlerin kökleri $x_1,x_2$ ve $x_1,x_3$  ve hepsi sıfırdan farklı olsun. $x_1$ ortak kök olduğundan

$$x_1^2+\dfrac{b_1}{a_1}x_1+\dfrac{c_1}{a_1}=x_1^2+\dfrac{b_2}{a_2}x_1+\dfrac{c_2}{a_2}$$

$$x_1=\dfrac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$    olur. İki denklem için kökler çarpımını kullanarak $x_2x_3=\dfrac{c_1c_2}{a_1a_2x_1^2}$  yazalım.$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{-b_1}{c_1}$  ve $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{-b_2}{c_2}$ eşitliklerini çıkartırsak $$\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_3-x_2}{x_2x_3}.....(1)$$   elde olunur. Benzer olarak $$x_1+x_2=\dfrac{-b_1}{a_1}$$      ve $$x_1+x_3=\dfrac{-b_2}{a_2}$$   eşitliklerini çıkartarak $$x_3-x_2=\dfrac{b_1a_2-b_2a_1}{a_2a_1}.....(2)$$   olur. (1)  ve  (2) eşitlikleri birbirine bölünüp gerekli yerine koymalar yapılarak $$(a_1c_2-a_2c_1)^2=(b_1c_2-b_2c_1)(a_1b_2-a_2b_1)$$   bulunur. Sonucu matris formunda $$\left|\begin{matrix} a_1& c_1\\a_2& c_2\end{matrix}\right|^2=\left|\begin {matrix} a_1& b_1\\a_2& b_2\end{matrix}\right| \left|\begin {matrix}b_1& c_1\\ b_2& c_2\end{matrix}\right|$$   şeklinde de ifade edebiliriz.

$x_1$  in paydası sıfır olursa yani $a_1b_2=a_2b_1$   ise paraboller birbirini kesmezler (birbirine paralel olurlar; çünkü aynı apsisli noktalardaki teğetleri birbirine paraleldir. Bunu görmek için türev almak yeterlidir). Bu durumda ortak kökten  bahsedilemez.

Comments

Aslında birkaç durum var ya da düzenlenmesi gerekebilecek... 

Genel olarak paydaşlar sıfıra eşit olabilir bu da bize bir sayı vermez. İlk eşitlikteki x1in paydası gibi. Hatta daha sonrasında kullanırlar paydadaki x1 de sıfır olabilir, x2 ya da x3 de. 

---

Uyarı için  teşekkürler Sercan hocam.