Süreklilik Üzerine-III

Question

$A\subseteq \mathbb{R}, \ f\in\mathbb{R}^A$  ve  $a\in A\cap D(A)$ olmak üzere

$$f, \ a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

Comments

normal tanımdan ne farkı var hocam

---

Şu linke bir göz at Anıl. Sonra gerekirse yine tartışırız.

---

Tanımı şöyle veriyoruz Anıl.

Tanım (Noktasal Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $a\in A$ olmak üzere

$$f, a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$$$

Tanım (Yaygın (Global) Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, (A\text{'da}) \text{ sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(f, a\text{'da sürekli})$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $f, \ a\text{'}$da sürekli ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ f, \ a\text{'da sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])$ 

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]).$

$------------------------------------$

$(\Leftarrow):$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a) \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]).$

Comments

Hocam kanıtın yeter kısmında son satıra nasıl geçtiniz?

---

$a$’nın $\subseteq$’nin sağındaki kısma ait olduğunu görmek zor olmasa gerek. Dolayısıyla $a$’yı $\subseteq$’nin solundaki kısma eklemenin bir mahsuru yok. Değil mi?

---

Evet hocam anladım teşekkür ederim