Senin verdiğin örnek üzerinden iki tane farklı formül yazalım;
$|x|+|y|<10$ aslında $|x|+|y|\leq 9$ anlamına geliyor, çünkü $x,y\in\mathbb{Z}$, özdeş nesnelerin dağıtımıyla $a_1+a_2+\cdots+a_r=n$ denkleminin negatif olmayan $\binom{n+r-1}{r-1}$ tane çözümü olduğunu biliyoruz, bunu $|x|=a\text{ ve } |y|=b$ diyerek uygulayalım, $$a+b=9\Rightarrow 10\\ a+b=8\Rightarrow 9\\a+b=7\Rightarrow 8\\a+b=6\Rightarrow 7\\.\\.\\.\\a+b=0\Rightarrow 1$$ tane çözümü mevcut, dikkat edersek $|x|=a$ iken $x=\{a,-a\}$ çözümleri mevcut ve $|y|=b$ iken $y=\{b,-b\}$ olup iki tane çözüm mevcut, $a=0$ veya $b=0$ olan durumlar da $2$ tane var, bunlar farklı şekilde sayılacağı için bunları ayıralım, ikişer çözüm çıkardığımız ifadeleri $4$ ile çarpalım, ve sonra $a=0$ ve $b=0$ olduğunda gelecek $2\cdot2$ kadar çözümü terim sayısı kadar ekleyelim, $a+b=0$'ın da bir çözümü var ayrıca, bu yüzden onu dışarı alacağız:
$$4\cdot8+4+4\cdot7+4+\cdots+4\cdot0+4+\color{green}1=4(8+7+6+\cdots+1)+4\cdot9+1=181$$ oluyor, Bu ifadede $n=9$ dersek $$4\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+4n+1=4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+1=\color{red}{2n(n+1)+1}=\color{blue}{ n^2+(n+1)^2}$$ geliyor. Bu ikisini zamanım olunca tümevarımla ispatlayabilirim,hatta sen de uğraşabilirsin.