$x$ ve $y$ tamsayı olmak üzere, $|x|+|y|\leq 10$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır ? - Matematik Kafası

$x$ ve $y$ tamsayı olmak üzere, $|x|+|y|\leq 10$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
738 kez görüntülendi

x ve y tamsayı olmak üzere,

$|x|+|y|\leq 10$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır ?

20, Mayıs, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Kimyager (1,304 puan) tarafından  soruldu
3, Kasım, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından düzenlendi

$n^2 + (n+1)^2$

4 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

İpucu: 

$$\beta=\left\{(x,y)\big{|}|x|+|y|\leq 10, (x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}$$ bağıntısının grafiğini çiz. Baklava dilimine benzer bir şekil karşına çıkacak. Bu baklava dilimine benzer şeklin içinde kalan tamsayı ikililerini tespit etmeye çalış. Kareli bir kağıt üzerinde çalışırsan daha kolay bulabilirsin.

20, Mayıs, 2016 murad.ozkoc (8,870 puan) tarafından  cevaplandı
20, Mayıs, 2016 Kimyager tarafından seçilmiş

grafiğini çizdimde, grafikten nasıl 221 gelecek orası x :)

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Genel olarak formulu $4\frac{n(n+1)}{2}+1$. Bunu nasil buluruz, orijin disinda bolgeleri tek esenli sekilde $4$'e ayirinca her bolgeye $1+2+\cdots+n$ nokta duser. 

20, Mayıs, 2016 Sercan (23,792 puan) tarafından  cevaplandı
3, Kasım, 2017 Sercan tarafından düzenlendi

Burada $n$ nedir?       

$n$ okuyucunun bulmasi gereken bir sabit. Genelde dogal sayi olur. O kismi okuyucuya biraktim.

formülde n 10 yazınca cevap 221 çıkıyor.çayda içmiyorum soruyla :|
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bunun için $|x|+|y|=10,9,8,\cdots,0$ ikililerini düşünebiliriz, $|x|=a$ ve $|y|=b$ diyelim $a,b\geq 0$ olduğunu bildiğimiz için $$\\a+b=10\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{10+2-1}{2-1}=11\\a+b=9\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{9+2-1}{2-1}=10\\a+b=8\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{8+2-1}{2-1}=9\\a+b=7\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{7+2-1}{2-1}=8\\a+b=6\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{6+2-1}{2-1}=7\\a+b=5\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{5+2-1}{2-1}=6\\a+b=4\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{4+2-1}{2-1}=5\\a+b=3\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{3+2-1}{2-1}=4\\a+b=2\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{2+2-1}{2-1}=3\\a+b=1\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{1+2-1}{2-1}=2\\a+b=0\text{  ise  }\Rightarrow 1 \text{   durum vardır   }$$ Şimdi burada şöyle bir püf nokta var: Her ikisinin de $0$ olduğu, yani toplamlarının sıfır olduğu durum hariç geri kalanlar $4$ ile çarpılır. Neden? Çünkü $a=|x|$ ve $2$ değer alabiliyor, aynı şekilde $b=|y|$ ve o da $2$ değer alabiliyor. (Biri $>0$, biri $<0$ olmak üzere) Mesela $11$ toplamlı da $9$ tane $0$'sız ikili var ve $2$ tane $0$'lı ikili var $9\cdot4+2\cdot2=9\cdot4+4$ bana istenen ikiliyi verecektir. Aynı mantıkla gidebildiğimiz kadar gideceğiz; $$9\cdot4+4+8\cdot4+4+7\cdot4+4+6\cdot4+4+5\cdot4+4+4\cdot4+4+3\cdot4+4+2\cdot4+4+1\cdot4+4+0\cdot4+4+ ''1''$$  $$=4\cdot\dfrac{(9+8+7+\cdots+1)\cdot10}{2}+4\cdot10+''1''=180+40+1=221$$

Burada , $n=10$ dersek $$4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}+4n+1=4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+1$$ Sercan Hocanın geçen cevapta kullandığı formül geliyor...

3, Kasım, 2017 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı
5, Kasım, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n^2 + (n+1)^2$ formülünü kullanırsak, $n=10$ için $10^2+11^2=221$ olarak cevap bulunur.

5, Kasım, 2017 Kadir Yükselci (20 puan) tarafından  cevaplandı

Bu formul nereden geliyor?

...