Kafes (örgü) noktaları ve doğrular

Question

Duzlemde her iki koordinati da tamsayi olan noktalara "kafes" ya da "örgü" noktalari denir. Orijinden geçen bır dogru mutlaka bir orgu noktasindan gecer mi?

Farkli dusunusleri gormek ve paylasim adina soruyorum. Buradan baska bir soruya gecmek istiyorum.

Comments

Bu soru ile ilgili

Answer 1

Saglamayan ornek olarak $$y=\pi x$$ dogrusunu ele alalim. Bu dogru uzerindeki noktalarin kumesi $$\{(k,k\pi) \: | \: k \in \mathbb R\}$$ olur. $k=0$ ise $(0,0)$ bir kafes noktasi olur. $k\ne 0$ oldugu durumu inceleyelim. $$(k,k\pi)\in \mathbb Z^2$$ olmasi icin $$k,\; k\pi \in \mathbb Z$$ olmali. Dolayisi ile $$\pi=\frac{k\pi}{k}\in \mathbb Q$$ olmali. Bu da celiski verir. Dolayisi ile $(0,0)$ disinda bir kafes noktamiz olmaz. 

Bu mantikla sunu ispatlayabiliriz: Orijinden gecen $$y=ax$$ dogrusu $(0,0)$ disinda bir kafes noktasi icerir ancak ve ancak $a$ rasyonel bir sayidir.

Irrasyonel ise yukaridaki $\pi$ yerine $a$ yazdigimizda sonucu elde ederiz.

Rasyonel ise $a=p/q$ olacak sekilde bir $(p,q)$ tam sayi ikilisi vardir ve dogru $(q,p)$ noktasindan gecer. 

* $x=0$ dogrusunda (ve $y=0$ dogrusunda) zaten $k$ tam sayi olmak uzere her $(0,k)$  (ve $(k,0)$) kafes noktasidir.