$11!$ sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?

Question

Bununla ilgili sitede bir çok soru çözülmüş onlara bakarak ilk kez Wilson teoremini de öğrendim. Ama terimler arasında iki fark olunca kafam karıştı.

http://matkafasi.com/50441/61-sayisinin-71-ile-bolumunden-kalan-kactir bu sorunun çözümünü de inceledim ama 69! = 1 (mod 71) yazılmış, bunun da nasıl olduğunu anlayamadım, aralarındaki fark 2 olunca daima 1 gelmesine sebep olan bir şey mi var?

$(p-1)! = -1$ $(mod$  $p)$

burda p'yi 13 alırsam 12!'in 13 ile bölümünden kalanı bulmuş oluyorum.

12! + 1 = 0 (mod 13)

11.12! + 1 = 0 (mod 13)

gibi eşitlikler yazdım ama bulamadım bir şey. 

Comments

$13$ asal olduğundan senin de ifade ettiğin gibi Wilson teoremi uyarınca $$(13-1)!\equiv -1(\text{mod } 13)$$ yani

$$12!\equiv -1(\text{mod } 13)$$ yani $$12!\equiv 12(\text{mod } 13)$$ yani $$11!\equiv 1(\text{mod } 13)$$ olur.

---

teşekkür ederim hocam, iki tarafı da aynı şeye bölebileceğimi unutmuşum nedense 

---

Aslında iki tarafı aynı sayıya bölerken yaptığımız işlem $$a\equiv b\pmod{p}$$ ise $$\dfrac{a}{c}\equiv \dfrac{b}{c}\pmod{\dfrac{p}{\text{obeb}(p,c)}}$$ dir. Yani $(p,c)$'nin $1$ olmasından faydalandık.

Answer 1

Cevapsı kalmasın diye yazıyorum: Wilson Teoremi'nden: $$(13-1)!\equiv -1 \pmod{13}$$ ve $$12\cdot11!\equiv 12 \pmod{13}\implies 11!\equiv\dfrac{12}{12}\pmod{\dfrac{13}{\text{ebob(13,12)}}}\implies 11!\equiv 1\pmod{13}$$