Karekok hakkinda

Question

1,2,3,4,5 sayilarin karekokukunu ondalikli sayilarla gosterirsek.

1 -> 1
2 -> 1.5
3 -> 1.8
4 -> 2
5 -> 2.3

yazarsam noktadan sonra 1 digit 1..5 araligindaki tam sayilarin karekokunu ifade etmeye yetiyor.

En genel halde N degeri verilirse noktadan sonra en az kac digit almaliyim sorusuna cevap ariyorum.

Ornegin N=4000 alinirsa 1...4000 araligindaki tam sayilarin karekokleri en az kac ondaliga sahip olmalidir.

Analitik cozumu varsa analitik cozumunu ariyorum.

Comments

n ve n-1 sayilarinin karekokleri arasindaki farkin logaritmasi tam sayi degilse bunun 1 fazlasi aradigim cevapmidir?

Ornegin n=4000 icin

Log(Karekok(4000)-Karekok(3999))=2.1

O halde noktadan sonra 3 digit almaliyim. 

---

$n$ tam kare değilse $\sqrt n$ irrasyonel olacağından virgülden sonra kaç basamak alacağımız (yuvarlama) sanıyorum keyfi.

Answer 1

İki ondalık sayı (sayılara $a,b$ diyelim) virgülden sonra $k$. basamağa (alışılmış şekilde, silinecek ilk basamağın $<5$ veya $\geq5$ oluşuna göre. Buna göre, soruda $2\rightarrow1,4\quad 3\rightarrow1,7\quad 5\rightarrow2,2$ olmalıydı) yuvarladığımızda farklı (yuvarlanmış) değer elde etmek için $|a-b|\geq 10^{-k}$ olması yeterlidir. 

Öyleyse $\sqrt n$ ve $\sqrt{n-1}$ in virgülden sonraki $k$ inci basamaklarının farklı olduğundan emin olmak için 

$\sqrt n-\sqrt{ n-1}\geq10^{-k}$ olmalıdır.

$\sqrt n-\sqrt{ n-1}=\frac1{\sqrt{n-1}+\sqrt n}\geq\frac1{2\sqrt{n}}$ olduğu için,

$\log_{10}\frac1{2\sqrt{n}}\geq\log_{10}10^{-k}=-k$ olması yeterlidir.

Bu eşitsizlik çözüldüğünde:

$k\geq\frac12\log_{10}n-\log_{10}2$ elde edilir.

($\log_{10}2\approx0,301$ olduğundan $k\geq\frac12\log_{10}n-0,301$

$n=50000$ için $k\geq 3$ buldum ("Pencereler" in hesap makinesine güvenerek)

 $\sqrt{n}=223,606797\cdots,\  \sqrt{n-1}=223,6045616\cdots$ oluyor. 

Virgülden sonra 3 basamağa yuvarlandığında

$\sqrt{n}\approx223,607,\  \sqrt{n-1}\approx223,605\cdots$ oluyor

Comments

$n=4000$ için (benim cevabımdan bulunan) iki basamak yeterli oluyor.

---

Ben sayilari kesmek suretiyle tam sayiya cevirip cozdum siz ise yuvarlayarak. 

Cozum sekliniz hosuma gitti. Tesekkurler.

Answer 2

Daha evvel bir yorumda söylendiği gibi, eger $n$ bir tamkare değilse $\sqrt{n}$ irrasyoneldir. İrrasyonel sayilarin da ondalik düzende yazımları sonsuzdur. Bu yüzden virgülden sonra ne kadar basamak kullanırsanız kullanin tam ifade edemezsiniz. Soruda verdiğiniz ornekte de $2$'nin karekökü $1.5$ değildir, $1.5$'in karesi $2.25$ eder. 

Virgülden sonra kaç basamağı alacağınız uygulamaya göre değişir. Masaya ayak yapıyorsanız başka, yörüngeye uydu yerleştiriyorsanız başka. 

Comments

Sayıları gerçek değerleri ile değil de yaklaşık değerleri ile temsil etmeye başlayınca işler biraz değişiyor.

Örneğin 2 sayısının karekökü irasyonel bir sayı olmasına rağmen tam kısmında 1 basamak, noktadan sonrasında da  1 basamak barındıran hangi sayıyı kendisi ile çarparsak tam kısmı 2 olan sayı dır denirse bu sayının 1.5 ya da 1.6 ya da 1.7 olduğunu görürüz.

2.25 sayısını tamsayılarla ifade etmeye kalktığımızda zaten 2 sayısına ulaşırız.