Kartezyen Çarpım-I

Question

$A,B$ ve $ C$ herhangi üç küme olmak üzere

$$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(x,y)\in A\times (B\setminus C)\Rightarrow x\in A\wedge y\in B\setminus C$

$\hspace{4cm}\Rightarrow x\in A\wedge (y\in B\wedge y\notin C)$

$\hspace{4cm}\Rightarrow (x\in A\wedge y\in B)\wedge (x\in A\wedge y\notin C)$

$\hspace{4cm}\Rightarrow (x,y)\in A\times B\wedge (x,y)\notin A\times C$

$\hspace{4cm}\Rightarrow (x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)\Big{/}A\times (B\setminus C)\subseteq (A\times B)\setminus (A\times C)\ldots (1)$

$(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)\Rightarrow (x,y)\in (A\times B)\wedge (x,y)\notin (A\times C)$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow (x\in A\wedge y\in B)  \wedge (x\in A\vee y\notin C)$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow (x\in A\wedge y\in B)  \wedge (x\notin A\vee y\notin C)$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow [(x\in A\wedge y\in B)  \wedge x\notin A] \vee [(x\in A\wedge y\in B)\wedge y\notin C)]$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow [(y\in B\wedge x\in A )  \wedge x\notin A] \vee [x\in A\wedge (y\in B\wedge y\notin C)]$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow [\underset{0}{\underbrace{y\in B\wedge \underset{0}{\underbrace{(x\in A \wedge x\notin A)}}}}] \vee [x\in A\wedge y\in B\setminus C]$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow 0 \vee (x,y)\in A\times (B\setminus C)$

$\hspace{5.3cm}\Rightarrow (x,y)\in A\times (B\setminus C)\Big{/}(A\times B)\setminus (A\times C)\subseteq A\times (B\setminus C) \ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C).$

Comments

Merhabalar Murad hocam. İspatın ilk kısmının ikinci satırdan üçüncü satıra geçişte: $x\in A\wedge (y\in B \wedge y\notin C)\Rightarrow (x\in A\wedge y\in B)\wedge(x\in A \wedge y\notin C)$ yazılışı bana  $p\wedge (q\wedge r)=(p\wedge q)\wedge (p\wedge r)$ gibi bir durumun kullanıldığını söylüyor. Bunu  nasıl yazabiliyoruz? Yani $\wedge$ 'nin $\wedge$ üzerine soldan dağılımı gibi bir durum?

Ayrıca ikinci kısımda da; 

$(x,y)\notin (A\times C)\Rightarrow x\in A \wedge y\notin C$

$(x,y)\notin (A\times C)\Rightarrow x\notin A \wedge y\in C$

$(x,y)\notin (A\times C)\Rightarrow x\notin A \wedge y\notin C$ olması gerekmez miydi? Siz sadece ilk ve son durumu dikkate almışsınız. Bir dalgınlık mı? Yoksa benim atladığım bir durum mu?

---

Sayın hocam ilk olarak şunu ifade edeyim:

$$p\wedge (q\wedge r)\Leftrightarrow (p\wedge q)\wedge (p\wedge r)$$

ve

$$(p\wedge q)\wedge r\Leftrightarrow (p\wedge r)\wedge (q\wedge r)$$

bileşik önermeleri birer totoloji olduğundan $``\wedge"$  bağlacının $``\wedge"$  bağlacı üzerine hem sağdan hem de soldan dağılma özelliği vardır. Bunu yukarıdaki bileşik önermelerin doğruluk tablolarını yaparak kolayca görebiliriz.

İkinci olarak da şunları paylaşayım:

Küme -her ne kadar tanımsız bir kavram olsa da- denince bir $p(x)$ açık önermesini doğru kılan nesnelerin oluşturduğu topluluk aklımıza gelir ve şöyle ifade ederiz:

$$A=\{x|p(x)\}$$

Bir nesnenin bu kümeye ait olması ya da olmaması ise $a$ nesnesinin $p(x)$ açık önermesindeki değişkenin yerine geldiğinde elde edilen önermenin doğru olup olmamasına göre $a$ nesnesi ilgili kümenin elemanıdır ya da $a$ nesnesi ilgili kümenin elemanı değidir deriz. Yani 

$$a\in \{x|p(x)\}\Leftrightarrow p(a)\equiv 1$$ ve

$$a\notin \{x|p(x)\}\Leftrightarrow p(a)\equiv 0$$ şeklinde ifade ederiz. Şimdi gelelim kartezyen çarpıma. $A$ ve $B$ herhangi iki küme olmak üzere $A$ kümesi ile $B$ kümesinin kartezyen çarpımını 

$$A\times B:=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}$$ şeklinde tanımlıyoruz. Buradan şunu yazabiliriz:

$$(x,y)\in A\times B\Leftrightarrow (x\in A\wedge y\in B)\ldots (1)$$

Mantık bahsinden şunu da biliyoruz:

$$p\Leftrightarrow q\equiv p' \Leftrightarrow q' \ldots (2)$$

$(1),(2)$ nolu bilgilerden şunu elde ederiz.

$$(x,y)\in A\times B\Leftrightarrow (x\in A\wedge y\in B)\ldots (1)$$ yazmakla 

$$(x,y)\notin A\times B\Leftrightarrow (x\in A\wedge y\in B)'$$ yazmak aynı şey. Yani 

$$(x,y)\notin A\times B\Leftrightarrow x\notin A\vee y\notin B.$$ Bu bilgiler sorularınızı ziyadesiyle yanıtlıyordur diye düşünüyorum. Sonuç olarak yazılanlarda bir sıkıntının olmadığını ifade edeyim. Ayrıca önermelerde eşitlik kavramı diye bir kavram yok. Yani $$p\wedge (q\wedge r)=(p\wedge q)\wedge (p\wedge r)$$ yazılımı doğru bir yazılım değil. Önermelerde eşitlikten ziyade denklik söz konusudur. $$p\wedge (q\wedge r)\equiv (p\wedge q)\wedge (p\wedge r)$$ olması gereken yazım şeklidir.

---

Buradaki açıklamalarda faydalı olacaktır.

---

Murat hocam öncelikle bu uzun ve detaylı açıklama için çok teşekkür ederim. Öncelikle önermelerin eşitliği yerine sizin de belirttiğiniz gibi  denkliğini yazmam gerekiyor,bunda haklısınız. 

Fakat ben şimdiye kadar "$\wedge$" ile "$\vee$" bağlaçlarından birinin diğeri üzerine soldan ve sağdan dağılımı, ya da "$\cap$" ile "$\cup$" işlemlerinden birinin diğeri üzerine her iki taraftan dağılımının,benzer şekilde bir işlemin farklı diğer bir işlem üzerine dağılma özelliğinin anlamlı olduğunu biliyordum. Siz bir işlemin kendi üzerine dağılımından söz ediyorsunuz. Bunu ilk kez görüyorum. Aynı şeyi "$\vee$" içinde söyleyebiliriz sanırım.

---

Sayın hocam

$$p\wedge p\equiv p$$

denkliğini kullanarak şöyle de yapabiliriz:

$$p\wedge (q\wedge r)$$

$$\equiv$$

$$(p\wedge p) \wedge (q\wedge r)$$

$$\equiv$$

$$p\wedge (p \wedge q) \wedge r$$

$$\equiv$$

$$ (p \wedge q) \wedge (p\wedge r).$$

---

Evet ya.Çok güzel.Teşekkür ederim Murad Hocam.

---

Ne demek sayın hocam :-)